Matematické Fórum

re_visor · 13. 07. 2020 12:02

Ahoj,

vím že mi tady něco uniklo, ale proč u exponenciální fce

$y = a^{x}$

musí být $a$ kladné ? Přece i když je $a$ záporné, tak se dá $y$ vypočítat pro každé $x$ .

/Chápu, proč exponenciální fce není definována pro $a = 1$ - protože pak by se nejednalo exponenciální, ale o konstantní fci. Ta nutnost kladného áčka mi ale uniká :(

Pomeranc

↑ re_visor:

Ahoj,

x náleží reálným číslům. Předpokládejme, že se budeme pohybovat v R (ne C)
Tedy nechť a=-5 a x=1/2 , pak $(-5)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-5}$ a to nedává v množině reálných čísel smysl.

re_visor · 13. 07. 2020 12:31

Takže jestli to chápu správně, tak při záporném $a$ by se dalo spočítat $y$ jen pro celá $x$ , ale pro jiná než celá $x$ by se $y$ spočítat nedalo => a tudíž by nešlo o funkci ?

david_svec · 13. 07. 2020 12:51

↑ re_visor:

Nemáš pravdu, protože pro třeba pro $x=\frac{1}{3}$ by "y" šlo spočítat, protože $(-5)^{\frac{1}{3}}\doteq -1,71$ .

Tímto by vznikaly "díry" v definičním oboru(to co můžeme dosadit za "x").

Protože mocnina samotná je definovaná jen pro kladná čísla, tak musí platit $a>0$ .

Pomeranc · 13. 07. 2020 13:05

↑ re_visor:

Nešlo o funkci..., to si nemyslím (pokud platí, že každému x, přiřadím právě jedno y, tak by to mělo být ok).
U tohoto konkrétního příkladu hodně závisí na tom, jaký definiční obor zvolíme i jaký obor hodnot zvolíme.

Třeba, když vezmeme to jako funkci z R do R, tak a musí být kladné.
R do C, tak a může být jakékoliv vyjma 0.
To samé bychom mohli říct, i když vezmeme z Z do R, tak a může být jakékoliv vyjma 0.

re_visor · 13. 07. 2020 15:00

Děkuji, už to tam začínám vidět. Přesto ale ještě zašťourání:

když to vezmeme jako funkci z R do R, a pokud bychom připustili, že $a$ může být i záporné reálné číslo, pak by pro záporná $a$ dávala exponenciální funkce výsledek jen v případech, že $x$ se dá vyjádřit zlomkem, kde

a) kde čitatel je sudé číslo - a tudíž umocněním (záporného) $a$ na toto sudé číslo dostaneme vždy kladné číslo, které můžeme vždy odmocnit jmenovatelem, bez ohledu na lichost nebo sudost jmenovatele

b) čitatel i jmenovatel jsou lichá čísla, takže záporné $a$ nejdřív umocníme, dostaneme záporné číslo, které můžeme odmocnit lichým jmenovatelem

(pokud čitatel bude liché číslo a jmenovatel liché, umocněním záporného $a$ dostaneme záporné číslo, které ale sudým jmenovatelem neodmocníme)

ale protože tyto podmínky nesplňuje nekonečný počet reálných $x$ , vyžadovala by tato funkce nekonečný počet vyjímek z definičního oboru

???

Pomeranc

↑ re_visor:

Já bych asi určitě radši nevynalézala další alternativní definice a držela se pravidla,
že pokud mocním racionálním číslem, tak základ by měl být kladný.

Tak třeba u tvého a)

$(-5)^{\frac{1}{2}}=(-5)^{\frac{2}{4}}$
Což víme, že na levé straně výraz v R nemá smysl a dle tvého názoru, výraz na pravé straně má smysl.
Víme, že určitě platí rovnost. Tak kde se stala chyba, Watsone :) ?
A ještě komentář k pravé straně. Dává smysl, kdybych si řekla, že nejdříve odmocním tj. zpracuji jmenovatel,
a pak až umocním tj. zpracuji čitatel? Nedostanu pak dva jiné závěry, i když umocňuji jedním číslem?

PS: pokud jsem pochopila špatně předchozí příspěvek, tak se omlouvám.

MichalAld · 13. 07. 2020 16:24

Já myslím, že pro většinu x nedokážeme výraz $a^x$ rozumě spočítat vůbec, bude li to "a" záporné. Protože x nemusí být nějaké "hezké" číslo, jako třeba zlomek, nebo odmocnina z něj ...

Když budeme chtít spočítat třeba $(-1)^\pi$ , jak bychom vůbec měli postupovat ?

re_visor

Toho pravidla, že základ má být kladný, se držet budu, jen jsem se chtěl v té věci dostat trochu hlouběji.

Uznávám, že ať už x zapíšeme jako 1/2 nebo 2/4, výsledek by měl být stejný - což nabourává tu mou "hypotézu", jak jsi ukázala.

Přesto ale, když x vyjádříme jako co nejvíc zkrácený zlomek, tak mi to tak nějak vychází...

$(-5)^{1/2}$ v R nemá řešení
$(-5)^{2/3}$ v R má řešení
$(-5)^{3/5}$ v R má řešení

Jestli ten komentář k pravé straně se týká toho, že
$a^{m/n} =\sqrt[n]{(a^{m})} = (\sqrt[n]{a})^{m}$
tak tam kde existuje řešení, je výsledek stejný bez ohledu na to, jestli nejdřív umocním a pak odmocním, nebo naopak.
A tam kde neexistuje řešení (protože by to musela být sudá odmocnina ze záporného čísla), tak taky neexistuje bez ohledu na pořadí.

Víc už se v tom ale nehodlám štourat, život je krátký :D

Děkuju a Peace :)

MichalAld · 13. 07. 2020 17:37

↑ re_visor:

Ale přece, zlomky jsou jen velmi malá část všech reálných čísel, dokonce téměř zanedbatelná (množina nulové míry). Těch ostatních je nekonečněkrát více...takže to, že umíš spočítat exponenciální funkci pro nějaký zlomek nic neznamená, musíš to umět počítat i pro ty ostatní...

check_drummer · 13. 07. 2020 23:24

↑ MichalAld:
Ahoj, na druhou stranu, pro reálný život racionální čísla stačí a jiná vlastně ani nejsou potřeba... :-) To myslím tak, že neperiodické reálné číslo v praxi moc nevyužiješ.

Matematické Fórum

#1 13. 07. 2020 12:02

Definice exponenciální fce

#2 13. 07. 2020 12:18 — Editoval Pomeranc (13. 07. 2020 12:19)

Re: Definice exponenciální fce

#3 13. 07. 2020 12:31

Re: Definice exponenciální fce

#4 13. 07. 2020 12:51

Re: Definice exponenciální fce

#5 13. 07. 2020 13:05

Re: Definice exponenciální fce

#6 13. 07. 2020 15:00

Re: Definice exponenciální fce

#7 13. 07. 2020 15:44 — Editoval Pomeranc (13. 07. 2020 15:54)

Re: Definice exponenciální fce

#8 13. 07. 2020 16:24

Re: Definice exponenciální fce

#9 13. 07. 2020 16:55 — Editoval re_visor (13. 07. 2020 17:00)

Re: Definice exponenciální fce

#10 13. 07. 2020 17:37

Re: Definice exponenciální fce

#11 13. 07. 2020 23:24

Re: Definice exponenciální fce

Zápatí