Matematické Fórum

mikpeta · 23. 07. 2020 10:32

Zdravím, potřeboval bych pomoct.

Kolik členů řady $\sum_{}^{}\frac{2n}{n!}$ je třeba sečíst, abychom její součet aproximovali s chybou menší než 0,01?

Měl bych použít nějaké vztahy ze skript bych řekl asi.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2020-07/93154_hh.JPG

nejsem_tonda · 26. 07. 2020 19:12

↑ mikpeta:
Ahoj,
tuto radu umime dokonce celkem snadno secist. Uzce souvisi s cislem e. Vis, jak na to?

Kdyz budes znat soucet, nepotrebujes pouzivat zadnou ze zminenych vet.

mikpeta · 27. 07. 2020 13:24

↑ nejsem_tonda:

Ahoj, součet neznám a nevím, jak na to.

nejsem_tonda

↑ mikpeta:
Toto je z Wikipedie:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2020-07/49460__euler.png

Vyuzij ted tuto znalost k tomu, abys spocital tu tvoji radu
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n}{n!}$
Je potreba ji trochu upravit..

mikpeta · 27. 07. 2020 15:49

Jako do čitatele dostat jedničku?

Ferdish · 27. 07. 2020 15:55

↑ mikpeta:
n možno vykrátiť s faktoriálom v menovateli, ktorý ho obsahuje. No a dvojka šup pred sumu :-)

mikpeta · 27. 07. 2020 16:03

Takže součet je 2e ? A to mi pomohlo k čemu?

nejsem_tonda · 27. 07. 2020 17:05

↑ mikpeta:
Kdyz znas soucet, tak uz neni problem podivat se, po kolika clenech se dostanes na vzdalenost mensi nez 0,01 k cislu 2e. Nebude jich potreba moc, ale bude potreba neco natukat do kalkulacky nebo do wolframalpha..

mikpeta · 27. 07. 2020 17:32

Aha, a jak bych teda postupoval v případě použití zřejmě té první věty ? To jsem ted zřejmě vybral asi jednodušší příklad, ale součet se prý určuje u některých řad složitě. Wolfram mi u zkoušky nepomůže.

nejsem_tonda · 27. 07. 2020 18:19

↑ mikpeta:
Treba ji muzes pouzit od 5. clenu te tvoji rady. Podil dvou po sobe jdoucich clenu rady je 1/n, coz bude od nejakeho clenu mensi nez (napriklad) 1/5 (tedy q=1/5). Pak najdes odhad pro |R_n| a s trochou stesti bude dostatecne maly..

mikpeta · 27. 07. 2020 18:41

↑ nejsem_tonda:

Takže vypočítám podíl po sobě jdoucích členů. A to q zjistím jak? To si za n zvolím nějaký člen? Proč zrovna 5? Mohu i třeba 2, 10..?

Když budu mít to q, tak dosadím do té rovnice? $Rn\le|\frac{2n}{n!}|* \frac{q}{1-q}$
Vyšlo mi $\frac{n}{2n!}$

nejsem_tonda · 28. 07. 2020 16:16

↑ mikpeta:
Prijde mi, ze zatim nemas promysleno, co ta veta rika. Podil dvou po sobe jdoucich clenu je potreba odhadnout cislem nezavislym na n. Ten podil je
$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{\frac{2(n+1)}{(n+1)!}}{\frac{2n}{n!}}=\frac1n$
Kdyz budu uvazovat vsechna prirozena n, plati pro ne odhad
$\frac1n\leq1$
jenze ten mi je k nicemu, protoze to bych mel q=1, pro ktere veta nerika nic.

Proto budu podil $a_{n+1}/a_n$ sledovat treba az od 5. clenu (ano, muzes ho sledovat treba od 2. clenu, nebo od 10., jak je libo...). Potom muzu napsat
$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac1n\leq\frac15$ pro vsechna $n\geq5$
Ted mam $q=1/5$ a muzu odhadnout napriklad $R_7$ . Opet je jedno, ktere cislo si zvolim, akorat musi byt aspon 5, kdyz podil $a_{n+1}/a_n$ odhaduju az od 5. clenu). Dostanu
$|R_7|\leq|a_7|\cdot\frac{\frac15}{1-\frac15}=\frac{2\cdot7}{7!}\cdot\frac14=\frac1{1440}<0.0007$

vanok · 28. 07. 2020 17:33

Ahoj ↑ mikpeta:,
Mala poznamka.
Normalne si v analyze( uz v prvom rocniku VS) videl Taylorove rozvoje a ich vyjadrenie zvysku za rozlicnych predpokladov. A prave to sa vyuziva na majoracie takych rozvojov n stupna ( pripadne sa to podrobne prehlbuje v numerickej matematike).

mikpeta · 28. 07. 2020 19:28

↑ nejsem_tonda:

Díky, takže 6 členů.

mikpeta · 28. 07. 2020 19:38

↑ nejsem_tonda:

Nějaký příklad pro kontrolu:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2020-07/57413_ttt.JPG

Takže určím podíl sousedních členů. Vyšlo mi $\frac{n}{2n+2}$

Budu to sledovat od 5. členu a dostanu q=5/12

A budu počítat $R_{10}\le \frac{5}{7\cdot n\cdot 2^{n}}$ po dosazení $R_{10}\le \frac{5}{7168}$ ( 0,000069 ) , takže chyba nebude větší jak $10^{-4}$ ??

nejsem_tonda · 29. 07. 2020 10:31

↑ mikpeta:
Ono to sice vypada podobne, ale takhle to neni spravne.

Totiz odhad
$\frac{n}{2n+2}\leq\frac{5}{12}$ neplati pro vsechna $n\geq5$

Najdi jinou konstantu q ("konstanta" znamena nezavisejici na n) tak, aby nerovnost
$\frac{n}{2n+2}\leq q$ platila pro vsechna prirozena n nebo aspon pro vsechna prirozena cisla od nejakeho pocinaje (napriklad pocinaje cislem 5).

Matematické Fórum

#1 23. 07. 2020 10:32

Odhad chyby součtu u nekonečných řad

#2 26. 07. 2020 19:12

Re: Odhad chyby součtu u nekonečných řad

#3 27. 07. 2020 13:24

Re: Odhad chyby součtu u nekonečných řad

#4 27. 07. 2020 13:33 — Editoval nejsem_tonda (27. 07. 2020 13:33)

Re: Odhad chyby součtu u nekonečných řad

#5 27. 07. 2020 15:49

Re: Odhad chyby součtu u nekonečných řad

#6 27. 07. 2020 15:55

Re: Odhad chyby součtu u nekonečných řad

#7 27. 07. 2020 16:03

Re: Odhad chyby součtu u nekonečných řad

#8 27. 07. 2020 17:05

Re: Odhad chyby součtu u nekonečných řad

#9 27. 07. 2020 17:32

Re: Odhad chyby součtu u nekonečných řad

#10 27. 07. 2020 18:19

Re: Odhad chyby součtu u nekonečných řad

#11 27. 07. 2020 18:41

Re: Odhad chyby součtu u nekonečných řad

#12 28. 07. 2020 16:16

Re: Odhad chyby součtu u nekonečných řad

#13 28. 07. 2020 17:33

Re: Odhad chyby součtu u nekonečných řad

#14 28. 07. 2020 19:28

Re: Odhad chyby součtu u nekonečných řad

#15 28. 07. 2020 19:38

Re: Odhad chyby součtu u nekonečných řad

#16 29. 07. 2020 10:31

Re: Odhad chyby součtu u nekonečných řad

Zápatí