Matematické Fórum

anddry97

Zdravím, procházím věci na zkoušku, tak mám skoro potřebu omluvit se za spam takových příspěvků.. Ale řeším tuto větu, její důkaz:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2020-08/09387_11D16D86-AFC6-4422-94C1-C56555DA9B74.jpeg ,
přičemž $M^*$ je množina nenulových prvků okruhu $M$ . A věta na kterou se odkazují je:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

První otázka je: Proč je $\mathbb{R}^*$ konečná množina? Proč když je konečná, je zobrazení surjekce? Injekci toho zobrazení vidím. Závěr, tj, "Tedy existujw x.." minnení jasný vůbec.

Poprosil bych o "provedení" důkazem, jsem z toho postupu značně zmatený, konkrétně v partiích viz. nahoře.

Děkuji za čas

Pomeranc · 08. 08. 2020 20:51

Ahoj,

já nevím, zda vaše důkazy chápu.
My jsme měli tyto skripta
(v knihovně lze půjčit i vytištěné).

Nejsem si jistá ale...
velmi mě překvapuje, že R píší jako reálná čísla. Kdyby to bylo jen R*, tak by to dávalo smysl.
0 nemá inverzní prvek a navíc, kdyby tam byla, tak předpis r nemůže být prostá funkce.
Surjekce plyne z toho, že množina vzorů a obrazů má stejný počet prvků a r je prosté zobrazení.
Víš, že součástí okruhu je i 1 a na ni se nějaké x zobrazuje, tedy ax=1, tedy x musí být tím inverzním prvkem.

anddry97

↑ Pomeranc:
Trochu jsem si rozmyslel co se děje a přišel jsem na následující.
V našich skriptech je větička která říká že komutativni netrivialni okruh $(R,+,\cdot )$ je těleso, právě když $(R^*,\cdot )$ je grupa. Obor integrity zaručuje, že $(R,\cdot )$ bude komutativni pologrupa s jedničkou. Takže ten důkaz je o tom ukázat, že v $(R,\cdot )$ je ke každému nenulovému prvku inverze. To ekvivalentně šetří přes to, že vytvořil zobrazeni $r_a$ které zkoumá právě operaci $\cdot$ pro jeden konkretni prvek a z $R^*$ .

Ukáže se že je to surjekce, tj existují prvky, ne nutně jeden, že když ho soperuji s a dostanu jedničku. Já chci, aby inverzní prvek k lib. prvku byl pouze jeden. To mi ošetří ta bijekce.

Z toho dohromady dostávám, že každý nenulový prvek v $R$ má inverzi, tj dohromady $(R,\cdot )$ je grupa a podle oné zmíněné větičky je $R$ těleso.

____________________________________________________________________________________

edit: surjekci už chápu

vanok · 10. 08. 2020 01:24 — Editoval vanok (10. 08. 2020 01:37)

Ahoj ↑ anddry97:,
V tvojom texte je typograficka chyba.
Tak ma vzdy byt $R^*$ a nie $\Bbb R^*$ .

Edit: teraz sa mi objavila tvoja posledna reakcia. Tak uz tomu dokazu rozumies.

Matematické Fórum

#1 08. 08. 2020 20:09 — Editoval anddry97 (08. 08. 2020 20:10)

Každý obor integrity je těleso

#2 08. 08. 2020 20:51

Re: Každý obor integrity je těleso

#3 09. 08. 2020 22:29 — Editoval anddry97 (09. 08. 2020 22:56)

Re: Každý obor integrity je těleso

#4 10. 08. 2020 01:24 — Editoval vanok (10. 08. 2020 01:37)

Re: Každý obor integrity je těleso

Zápatí