Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
[Opravená verze předchozího příspěvku, který jsem bohužel nemohl editovat]
Prosím mohl by se někdo podívat, jestli v následujícím nemám nějakou chybu? Děkuji :) Všechno by to měly být jen čistě středoškolské operace, žádná vysoká matematika.
Nechť , a jsou po dvou nesoudělná čísla a je prvočíslo. Dále nechť .
Úpravami dostaneme:
(1)
(2)
Nyní uveďme pomocné tvrzení. Pro libovolná nesoudělná , a prvočíselné platí, že každý dělitel čísla je buď nebo je tvaru pro nějaké nenulové celočíselné .
Důkaz není tak obtížný a na požádání ho uvedu. Tady by ale zbytečně zabíral místo a činil celý text méně přehledným.
Nyní definujme pro celočíselné hodnotu jako největší dělitel čísla takový, že nedělí a současně žádný z dělitelů čísla není ani ani tvaru pro celočíselné .
S využitím (1) a (2) spolu s definicí dostaneme
-
-
Díky symetrii v , a potom můžeme definovat
(3)
Z definice víme, že dělí a současně dělí , dělí i tedy jejich rozdíl, což je . Vzhledem k nesoudělnosti , a dostaneme:
(4) dělí neboli dělí
Protože dělí a současně dělí , musí dělit i pokud dosadíme do kongruence neboli neboli
(5) dělí neboli dělí .
Nyní definujme . Pak z (4) a (5) okamžitě plyne
(6) dělí neboli dělí .
Protože je největší společný dělitel a , musí dělit též pokud dosadíme do , čímž dostaneme, že dělí . Proto dělí , přitom ale dělí , proto
(7)
Další krok v mém "důkazu" je dokázat indukcí, že pro libovolné přirozené máme:
(8)
(9)
(10)
kde
Ten důkaz je opravdu přímočará indukce s tím, že pokaždé využijeme toho, že , a .
Offline
Prosím o uvedení důkazu:
liamlim_2 napsal(a):
Nyní uveďme pomocné tvrzení. Pro libovolná nesoudělná , a prvočíselné platí, že každý dělitel čísla je buď nebo je tvaru pro nějaké nenulové celočíselné .
Proč platí:
liamlim_2 napsal(a):
(5) dělí neboli dělí .
?
Stejný dotaz pro bod (4).
Stále jsi neuvedl, že v některých případech je R(a) dodefinováno jako 1.
Offline
↑ check_drummer:
Rád bych to zase opravil, protože jsem skutečně předpoklad o R(a) dodefinovaném jako 1 neuvedl. Já můžu editovat pouze mé odpovědi, ale nikoliv hlavní příspěvek.
Jinak ohledně
dělí neboli dělí . Hodnota je definovaná jako , tedy všechny dělitele nejsou ani ani tvaru . Proto pokud z odděláme všechny dělitele tvaru nebo , tak pořád dělí výsledné číslo, protože VŠECHNY dělitelé jsou jiného tvaru než nebo . No a funkce nám udělá přesně to, co chceme. Odfiltruje nám všechny "špatné" dělitele, které jsou tvaru nebo
Offline
Zdravím,
↑ check_drummer:, ↑ liamlim_2:
už si vybavuji, v čem je zádrhel - v nastavení pravidla pro editaci 1. příspěvku
Pavel Brožek v roce 2012 napsal(a):
Pokud nikdo neodpověděl, tak je editace možná kdykoliv. Pokud někdo odpověděl, tak jen do dvou hodin od založení tématu.
↑ liamlim_2: prosím o část, kterou mám zeditovat (nejjednodušší do dalšího příspěvku vlož, prosím, celý text prvního s barevným označením, co mám editovat). Na druhou stranu - pokud jde jen o vývoj diskuse, tak se dá předpokládat, že ne všechno bude rovnou v 1. příspěvku, ale že vyplyne z diskuse. Děkuji za upřesnění, co s editem.
Offline
Důkaz toho pomocného tvrzení je jednoduchý. Nechť je libovolný prvočíselný dělitel čísla , který není ani tvaru . Pak je též dělitel čísla , kde je eulerova funkce. Protože není tvaru , můžeme psát . Po dosazení máme, že dělí neboli dělí . Už odsud plyne hlavní část tvrzení, totiž že libovolný prvočíselný dělitel čísla , který není tvaru dělí .
Pro dokončení důkazu stačí ukázat, že . To se dokáže triviálně ze vztahu platného pro libovolné s využitím matematické indukce
Offline
Toto plyne z čeho?
liamlim_2 napsal(a):
Nechť je libovolný prvočíselný dělitel čísla , který není ani tvaru . Pak
je též dělitel čísla , kde je eulerova funkce.
Offline
↑ jelena:
Ahoj, pokud se to týká jen prvního příspěvku, tak pro účely tohoto příspěvku navrhuju první příspěvek založit jako fejk a hlvní téma dat do druhého, a ten už pak bude moci autor neomezeně editovat. :-)
Offline
↑ check_drummer:
dělí pro každé liché přirozené . Tedy i pro , proto dělí . Protože dělí a je dělitel čísla , tak dělí
Offline
A toto plyne z čeho?
liamlim_2 napsal(a):
dělí pro každé liché přirozené .
Offline
↑ check_drummer:
Toto plyne z toho, že , do čehož dosadíme , což pro liché dá
Obecně platí pro liché vztah , což jde snadno dokázat indukcí přes . Dosazením , dostaneme taky co potřebujeme :)
Offline
[Nejnovější verze mého "důkazu". Dost zjednodušená]
Nechť , a jsou po dvou nesoudělná čísla a je prvočíslo. Dále nechť .
Úpravami dostaneme:
(1)
(2)
Nyní uveďme pomocné tvrzení. Pro libovolná nesoudělná , a prvočíselné platí, že každý dělitel čísla je buď nebo je tvaru pro nějaké nenulové celočíselné .
[důkaz jsem již uvedl dříve]
Nyní definujme pro celočíselné hodnotu jako největší dělitel čísla takový, že nedělí a současně žádný z dělitelů čísla není ani ani tvaru pro nějaké nenulové celočíselné . Pokud takové číslo neexistuje, pak dodefinujeme .
S využitím (1) a (2) spolu s definicí dostaneme
-
-
Díky symetrii v , a potom můžeme definovat
(3)
4.a) Jestliže dělí , pak dělí a dělí .
4.b) Jestliže dělí , pak dělí a dělí .
4.c) Jestliže dělí , pak dělí a dělí .
Důkaz:
Jestliže dělí , tak dělí i , neboli . Proto . Víme, že nedělí , neboť , a jsou nesoudělná a dělí , proto by jinak muselo dělit jak tak . Proto buď dělí jak tak a jsme hotovi, nebo nedělí ani ani . V takovém případě ale , což plyne z toho, že . V takovém případě ale nutně . Po dosazení této kongruence do dostaneme, že dělí a současně dělí , tedy dělí 3, což není možné, neboť , proto jsme došli ke sporu a jsme hotovi.
Další dvě implikace plynou ze symetrie
5.a) Jestliže dělí , pak dělí
5.b) Jestliže dělí , pak dělí
5.c) Jestliže dělí , pak dělí
Důkaz:
Využijeme plynoucího z , což po dosazení dává
(4) a (5) dávají dohromady
(6) Jestliže dělí libovolné z čísel , , , , , , pak dělí i všechny ostatní.
Offline
liamlim_2 napsal(a):
...můžeme psát .
Jak to?
liamlim_2 napsal(a):
... neboli dělí .
Jak to?
Offline
↑ check_drummer:
To je skutečně jenom Eulerova věta a poté Malá Fermatova věta, nic z toho jsem nevymyslel já, jenom jsem použil tyto dva nástroje.
Offline
↑ liamlim_2:
Abys mohl použít Eulerovu větu, tak musí platit nsd(n,p-1)=1, že? To plyne z čeho?
Offline
↑ check_drummer: To plyne z "prvočíselného dělitele , který není tvaru ."
Já se snažím dokázat, že má POUZE dělitele tvaru nebo . Proto mě zajímají jen ty prvočíselné dělitele , které nejsou tvaru . Pokud není tvaru abych ukázal, že všechny takové dělitele musí dělit i . Pokud ale není tvaru , pak , což je přesně to, co potřebuji
Offline
↑ liamlim_2:
Asi je potřeba tiu Eulerovu větu a Malou Fermatovu rozepsat postupně - nejprve na a pak na , protože obě věty se netýkají součtu mocnin, ale jen jediné mocniny. Možná že díky tomu zjistíme, že nepůjde volit jedno , ale že budou muset být pro a,b jiné, ale uvidíme.
Offline
↑ check_drummer:,
Ta lemma z #15 sa da dokazat aj vdaka bionickej vete.
( uvazuj dva pripady prvocislo n|a+b, a potom, ze n nedeli a+b)
Poznamka: zvysok textu som necital .
Offline
liamlim_2 napsal(a):
Už odsud plyne hlavní část tvrzení, totiž že libovolný prvočíselný dělitel čísla , který není tvaru dělí .
Jak to? Dokázali jsme, že libovolný prvočíselný dělitel čísla , který není tvaru dělí .
Offline
liamlim_2 napsal(a):
Pro dokončení důkazu stačí ukázat, že . To se dokáže triviálně ze vztahu platného pro libovolné s využitím matematické indukce
1) Proč to platí?
2) proč to stačí k důkazu toho tvrzení?
Offline
↑ check_drummer:
Když libovolný prvočíselný dělitel správného tvaru čísla dělí , tak tím spíš libovolný prvočíselný dělitel správného tvaru čísla dělí , neboť dělí
Offline
↑ check_drummer:
Ukázali jsme, že libovolný prvočíselný dělitel čísla , který není tvaru dělí . Proto abychom dokázali, že žádný prvočíselný dělitel, který není tvaru , čísla neexistuje, tak nám stačí ukátat, že neexistuje prvočíselný dělitel tvaru čísla , k čemuž nám stačí ukázat , neboť ani 1 ani nejsou tvaru pro nenulové .
Offline
↑ check_drummer:↑ check_drummer:
Protože ze plyne pro liché
vztah
Není třeba zdůvodňovat jak tento vtah plyne z předchhozího, stačí indukcí dokázat toto tvrzení. Díky tomu dojdeme k faktu, že dělí pro libovolné liché .
Offline
liamlim_2 napsal(a):
plyne pro liché
vztah
Jak to? (A)
liamlim_2 napsal(a):
Díky tomu dojdeme k faktu, že dělí pro libovolné liché .
Jak to (B) a jak to souvisí s dokazovaným (C):
Offline
↑ check_drummer:
mně připadá, že říkám pořád dokola to samotné. My jsme ukázali, že libovolný dělitel který není tvaru dělí . Tím ale ještě nevíme, jestli takový dělitel vůbec existuje (a chceme ukázat že ne). Proto se podíváme na největší společný dělitel čísel a . Pokud žádné z těch čísel nebude tvaru , pak tím víme, že neexistuje dělitel čísla , který není tvaru . Ten by totiž dělil i a tedy i . Tím že ukážeme, že tak tím ukážeme, že jediným kandidátem na to, aby dělilo jak tak který není tvaru je .
Offline
↑ liamlim_2:
To ano, ale já se ptám na jiné věci, označím je (A), (B), (C) výše.
Offline