Matematické Fórum

check_drummer · 23. 08. 2020 09:54

check_drummer · 23. 08. 2020 10:49

↑↑ vanok:
Ahoj ještě jednou: Pokud p nedělí a+b, tak pomocí malé Fermatovy věty a operací v Zp odvodím, že (počítáme v Zp) $\frac{a^p+b^p}{a+b}=\frac{a+b}{a+b}=1$ a pokud p dělí a+b, tak pomocí binomické věty a rozvoje $a^p=((a+b)-b)^p$ odvodím, že p dělí $\frac{a^p+b^p}{a+b}$ . Ale to neříká nic o všech dělitelích toho čísla.

check_drummer · 25. 08. 2020 21:56

Pokud budeme pokračovat, tak jak dokazuješ toto?:

liamlim_2 napsal(a):
(8) $x^{3k} + y^{3k} + z^{3k} \equiv 3x^ky^kz^k\mod g^2$
(9) $x^{3k+1} + y^{3k+1} + z^{3k+1} \equiv (3k + 1)(x+y+z)x^ky^kz^k\mod g^2$
(10) $x^{3k+2} + y^{3k+2} + z^{3k+2} \equiv -(3k + 2)(xy+yz+zx)x^ky^kz^k\mod g^2$

Indukcí od k ke k+1 nebo od k ke k+3? Jak probíhá první krok indukce (tj. pro k=1)? Předpokládám, že ty mocniny tedy začínají na čísle 4 (protože k je přirozené a tedy nejmenší k, které připadá v úvahu je 1)?

vanok · 26. 08. 2020 11:46

Ahoj ↑ check_drummer:,
Vsak presne tak, to ukaze len to co si poznamenal.
A v dokaze pouzijes, alebo a+b je delitelne cislom p,
alebo potom pouzijes binomicku vetu tak ako si to vyjadril.

check_drummer

↑ vanok:
Z toho rozvoje mi po vydělení a+b zbude $x:=\sum_{i=1}^{p}{{p \choose i}(a+b)^{i-1}.(-b)^{p-i}}$ . Jediný člen neobsahující p je $(a+b)^{p-1}$ a z toho je vidět (jak bylo dříve řečeno), že pokud p dělí a+b, tak je x=0 (mod p) a pokud p nedělí a+b, tak je x=1 (mod p).
Ale co dále?

Napadá mě pro libovolný (třeba prvočíselný) dělitel q čísla x zkoumat x/q mod p, ale tady zatím nevím jak dále.

vanok · 26. 08. 2020 20:19 — Editoval vanok (29. 08. 2020 01:43)

↑ check_drummer:,
Klucova myslienka je
$a^n=((a+b)-b)^n=(a+n)^n- b{\binom { n}{1}}(a+b)^{n-1}+....+(-b)^n$
a $\frac {a^n+b^n}{a+b}=k(a+b)+n(-b)^{n-1}$ ( k konstanta).
Podobne aj pre $b^n$ .

(Staci?)

check_drummer · 27. 08. 2020 16:15

↑ vanok:
Úprava je jasná, ale stále nevidím jak o dělitelích posledního výrazu dokázat, že jsou 0 nebo 1 (mod p).

Jinak opravím překlepy ve tvém textu výše:
$=(a+b)^n-b{\binom { n}{1}}(a+b)^{n-1}+....+(-b)^n$

vanok · 27. 08. 2020 22:52

Ahoj ↑ check_drummer:,
Dakujem, ten preklep som opravil.

Trochu som sa pohral s tym $\frac {a^n+b^n}{a+b}$ a som ukazal na koniec len toto: ak a, b su nesudelitelne a ak p je neparne prvocislo, tak

$\frac {a^n+b^n}{a+b}$ a $a+b$ su nesudelitelne ak p nie je delitelom $a+b$
a
$\frac {a^n+b^n}{a+b}$ a $a+b$ maju p NSD ak p je delitelom $a+b$ .

( a som si ten dokaz inac zorganizoval ako som o tom vyssie pisal, ak myslis, ze je to uzitocne, mozem o tom tu podrobnejsie napisat)

check_drummer · 29. 08. 2020 00:51

↑ vanok:
Ahoj, už to vidím, ale je to jen část toho důkazu, že $\frac {a^n+b^n}{a+b}$ =0 nebo 1 (mod p).
Jinak překlepy jsi tam měl celkem 3. :-)

vanok · 29. 08. 2020 13:18 — Editoval vanok (30. 08. 2020 09:36)

↑ check_drummer:,
Presnejsie, som ukazal len to co je #33.
No to asi neposluzi v tomto vlakne !

check_drummer · 30. 08. 2020 15:43

↑ vanok:
Pomůže to, je to jeden z kroků, který chtěl kolega liamlim dokázat. Ale ten se asi na delší dobu odmlčel. Buď nemá čas nebo jsem ho znechutil detailními dotazy...

vanok · 30. 08. 2020 16:31 — Editoval vanok (30. 08. 2020 17:14)

Ahoj ↑ check_drummer:,
Len mala poznamka.
Na tu vseobecnu temu je ( uz klasicke citanie) z doby pred Andrew Wiles:
Fermat’s Last Theorem for Amateurs od Ribenboim Paulo. Oplati sa to citat.

Inac, pre zaujimavost, tento vyraz ako v #15 sa najde v pracach od Lehmer v 1930, alebo aj v pracach od Binet v 1843 i ked za inych okolnosti...

Matematické Fórum

#26 23. 08. 2020 09:54

Re: Velká Fermatova věta - opraveno

#27 23. 08. 2020 10:49

Re: Velká Fermatova věta - opraveno

#28 25. 08. 2020 21:56

Re: Velká Fermatova věta - opraveno

liamlim_2 napsal(a):

#29 26. 08. 2020 11:46

Re: Velká Fermatova věta - opraveno

#30 26. 08. 2020 14:37 — Editoval check_drummer (27. 08. 2020 16:08)

Re: Velká Fermatova věta - opraveno

#31 26. 08. 2020 20:19 — Editoval vanok (29. 08. 2020 01:43)

Re: Velká Fermatova věta - opraveno

#32 27. 08. 2020 16:15

Re: Velká Fermatova věta - opraveno

#33 27. 08. 2020 22:52

Re: Velká Fermatova věta - opraveno

#34 29. 08. 2020 00:51

Re: Velká Fermatova věta - opraveno

#35 29. 08. 2020 13:18 — Editoval vanok (30. 08. 2020 09:36)

Re: Velká Fermatova věta - opraveno

#36 30. 08. 2020 15:43

Re: Velká Fermatova věta - opraveno

#37 30. 08. 2020 16:31 — Editoval vanok (30. 08. 2020 17:14)

Re: Velká Fermatova věta - opraveno

Zápatí