#1 05. 08. 2020 16:43
Vektorový prostor, lineární zobrazení
Ahoj, potřebovala bych pomoct s úvodem do lineární algebry.
Mám lineární zobrazení mezi vektorovými prostory U s bází A a V s bází B a chci vytvořit matici tohoto zobrazení vzhledem k bázím A a B.. Její jednotlivé sloupce tvoří souřadnice obrazů vektorů z báze A v tomto zobrazení vzhledem k bázi B. Víte, když jenom zobrazím tyhle bazické vektory, v jaké bázi budou jejich souřanice? To si myslím potřebuji vědět, abych mohla vytvořit matici přechodu a tak našla souřadnice příslušných vektorů vzhledem k bázi B. Napadlo mě, že vzhledem k bázi, jejíž jednotlivé vektory tvoří obrazy vektorů z báze A. Protože jestli je lineární zobrazení něco jako homomorfismus, zachvává důležité struktury, tedy určitě bázi. Ale to nejde, protože druhý prostor může mít jinou dimenzi.
Offline
#2 27. 08. 2020 20:49
Re: Vektorový prostor, lineární zobrazení
Ahoj,
> když jenom zobrazím tyhle bazické vektory, v jaké bázi budou jejich souřanice?
Souřadnice musíš brát vzhledem k bázi, ve které ty obrazy budou, tj. v B. Než to ale dělat přímo je asi jednodušší přejít v obou prostorech ke standardním bazím, protože je v nich dobře vidět, jak se dané lineární zobrazení chová. Viz příklad 7.5.2 http://thales.doa.fmph.uniba.sk/zlatos/ … f#page=148
> Protože jestli je lineární zobrazení něco jako homomorfismus
Lineární zobrazení jsou homomorfismy vektorových prostorů.
> zachvává důležité struktury, tedy určitě bázi
To bohužel neplatí, protože báze není "podstruktura", přesněji podprostor, vždyť např. není uzavřená na sčítání. Platí ale, že obrazy bázových vektorů vygenerují obraz a z těchto generátorů pak umíme vybrat bázi.
Jako protipříklad mějme třeba ![$K[x]\to K,$](/mathtex/30/30cdf9932153b8780984edb427d4836b.gif "kopírovat do textarea")
kde 
je těleso (a ![$K,K[x]$](/mathtex/09/0937fd2422e1fb2c5d7cd7b6ee70734d.gif "kopírovat do textarea")
jsou tak vektorovými prostory nad s bázemi 
resp. 
) dané předpisem 
, což je skutečně lineární zobrazení. Ale v tomto případě se báze smrskne/zobrazí na .
Příspěvky psané červenou barvou jsou moderátorské, šedá je offtopic.
Offline