Matematické Fórum

matika096 · 26. 08. 2020 18:10

dobry den, nemohu prijit na lepsi postup tehle zdlouhave rovnice $\frac{1+\text{tg}x}{1-\text{tg}x}=2-4\sin ^{2}x$
muj postup je, ze si $\sin ^{2} x$ nahradim vzorcem $\frac{\text{tg}^{2}x}{\text{tg}^{2}x+1}$
a potom to prevedu na spolecneho jmenovatele a roznasobim, ale to mi vyjde tangens na treti :(
dekuji predem

Ferdish · 26. 08. 2020 18:22

Co tak skusit premenit tg na podiel sin/cos a upravit na spolocny zlomok?

Pardon za diakritiku - pisem z mobilu.

krakonoš

Pravou stranu lze upravit na 2cos2x. Levou na cos2x/(1-sin2x). Při těchto úpravách však musíme zvážit všechny případy, kdy se pokoušíme dělit nulou a tyto vyšetřit zvlášť.Tedy pokud u úpravy 2cos2x=cos2x/(1-sin2x) budeme krátit cos2x , dostaneme se k řešení rovnice sin2x=1/2, musíme ale i zkusit, kdy cos2x =0, zda tato řešení nevyhovují původnímu zadání rovněž.Původně jsem udělala numerickou chybu.Už jsem to opravila.

matika096

tak jsem to upravila takhle:
to tangens jsem si prevedla na sin/cos , takze mi vyslo, kdyz jsem to s jednickou dala na spolecneho jmenovatele: $\frac{\cos x +\sin x}{cosx}/\frac{\cos x -\sin x}{cosx} -2=-4sin^{2}x$
to jsem pak upravila na $\frac{-cos x-sinx}{-cos x-sinx}=--4\sin ^{2}x$

$\frac{-cos x-sinx}{-cos x-sinx}=-4\sin ^{2}x$
a pak
$1=-4\sin ^{2}x$
$\sin ^{2}x=-1/4$
a z toho vypocitam x?
nevim co udelam ze sinu na druhou x

zdenek1 · 26. 08. 2020 22:42

↑ matika096:
$\frac{-\cos x-\sin x}{-\cos x-\sin x}=-4\sin ^{2}x$ to je špatně, asi chyba v úpravě

Ale tvá první myšlenka je dobrá. Po dosazení $\sin^2x=\frac{\text{tg}^{2}x}{\text{tg}^{2}x+1}$ a převedení na společného jmenovatele můžeš vytknout $(\text{tg}\, x+1)$ a stupeň rovnice snížit.

nejsem_tonda

Ahoj,
nejaky superjednoduchy postup me nenapada. Upravil bych si levou stranu na

$\frac{1+\tan x}{1-\tan x}=\frac{\cos x + \sin x}{\cos x - \sin x}$

a pravou stranu na

$2-4\sin^2x=2\cos^2x-2\sin^2x=2(\cos x + \sin x)(\cos x - \sin x)$

Tim dostavam rovnost

$\frac{\cos x + \sin x}{\cos x - \sin x}=2(\cos x + \sin x)(\cos x - \sin x) \quad \Rightarrow \quad {\color{blue}(\cos x + \sin x)=2(\cos x + \sin x)(\cos x - \sin x)^2}$

Posledni zavorka je pekna: $(\cos x - \sin x)^2=1-2\sin x \cos x=1-\sin 2x$

Takze modra rovnice se rozpadne na dva pripady:

1) $\cos x + \sin x = 0$ , coz muzu bud upravit na $\tan x = -1$ , nebo elegantne umocnit a dostanu $1+2\sin x \cos x = 1+\sin 2x = 0$ , tj. $\sin 2x = -1$ .

2) $1 = 2(1-\sin 2x)$ . tj. $\sin 2x = \frac12$

Doresit tyto dve rovnice a udelat zkousku je standardni uloha.

________________
Poznamka pod carou: