Matematické Fórum

dobes.pavel · 11. 09. 2020 09:30

Ahoj

Nikde na internetu nemohu najít vztah pro polohu těžiště zeleně vybarvené části obrazce (viz obrázek).
Jedná se o kruh vespaný do čtverce - čili strana čtverce je rovna průměru kruhu D.
Sháním jednoduchý vztah, jak pomocí poloměru R (případně průměru D) vyjádřit polohu těžiště daného obrazce (myslím pouze tu jednu zeleně vybarvenou část).

//forum.matweb.cz/upload3/img/2020-09/09062_T%25C4%259A%25C5%25BDI%25C5%25A0T%25C4%259A.png

Potřebuju to pro automatizovaný výpočet průřezových charakteristik (momenty setrvačnost, poloměry setrvačnosti, moduly průřezu...) ocelových trubek v excelu.
Vím, jak si zjednodušit, byl bych ale mírně nepřesný, proto prosím o radu.

Díky za odpovědi

surovec

↑ dobes.pavel:
No mně to vychází $x_T=y_T=\frac{10-3\pi}{3-3\pi}R\,\dot{=}\,0{,}2232R$ (počítáno od vrcholu čtverce)...

laszky · 11. 09. 2020 11:56

↑ surovec:

Ahoj, myslim, ze tam ma byt dvanactka...

$x_T=y_T=\frac{10-3\pi}{{\color{red}12}-3\pi}R\,\dot{=}\,0{,}2232R$

surovec

↑ laszky:
Pravda pravdoucí, integrály jsem zvládnul, ale převod zlomku na společný jmenovatel mi dělá poněkad problémek...

dobes.pavel · 11. 09. 2020 21:35

Super, chlapi!
A teď jsem si uvědomil, že potřebuji ještě moment setrvačnosti téhož obrazce ke svému těžišti.
Dovedli byste také spočítat?
Integrály jsem viděl naposledy na výšce před 8 lety a vím, že jsme si některé podobné věci také odvozovali. Je to už dlouho a holt, jako vytížený stavař-praktik si doma tajně po večer opravdu integrály nepočítám :-)
Moc mi to pomůže, abych si udělal v excelu automatizaci statických výpočtů pro ocelové konstrukce.

Dík moc

MichalAld · 12. 09. 2020 12:44

Moment setrvačnosti můžeš nejspíš spočítat bez integrování ... nejdřív si spočítáš moment setrvačnosti všech 4 rohů vzhledem ke středu S. Ten získáš jako rozdíl momentů setrvačnosti čtverce a kruhu (na to jsou vzorečky).

Moment setrvačnosti jednoho rohu bude 1/4 předchozího.

A pak podle Steinerovy věty přepočítat vzhledem k těžišti.

dobes.pavel · 14. 09. 2020 20:02

Jasné, Steinerovu větu a momenty setrvačnosti jako statik velice dobře znám.
Taky mě to dříve napadlo, každopádně jsem se chtěl vyhnout odvozování, abych neskončil na mém postupně uvadajícím a skomírajících matematickém aparátu :-)
Spíše jsem spoléhal, že to už někdo ze zdejších matematiků řešil a jen vysype ze svých poznámek.

Ale budiž! Hotovo!

Vychází mi to:
$\frac{704-512\pi +120\pi ^{2}-9\pi ^{3}}{144\cdot (16-8\pi +\pi ^{2})}\cdot r^{4}$

Výsledné průřezové charakteristiky se mi shodují s ocelářskými tabulkami, tak věřím, že to je dobře.
Ještě si to dokážu ověřit pomocí AutoCADu, který také umí rychlý výpočet průřezových charakteristik jakéhokoliv nakresleného obrazce - užitečná věc.

dobes.pavel · 14. 09. 2020 20:49

Tak od AutoCADu se u náhodně zvoleného průřezu liším až na 3. desetinném místě.
Takže buď je problém zaokrouhlování na straně AutoCADu/Excelu nebo tam mám nějakou drobnou chybku, ale vem to čert - na takové detaily se v mé profesi nehraje.

Matematické Fórum

#1 11. 09. 2020 09:30

Těžiště - kruh vepsaný ve čtverci (vztah)

#2 11. 09. 2020 10:46 — Editoval surovec (11. 09. 2020 11:04)

Re: Těžiště - kruh vepsaný ve čtverci (vztah)

#3 11. 09. 2020 11:56

Re: Těžiště - kruh vepsaný ve čtverci (vztah)

#4 11. 09. 2020 12:38 — Editoval surovec (11. 09. 2020 12:39)

Re: Těžiště - kruh vepsaný ve čtverci (vztah)

#5 11. 09. 2020 21:35

Re: Těžiště - kruh vepsaný ve čtverci (vztah)

#6 12. 09. 2020 12:44

Re: Těžiště - kruh vepsaný ve čtverci (vztah)

#7 14. 09. 2020 20:02

Re: Těžiště - kruh vepsaný ve čtverci (vztah)

#8 14. 09. 2020 20:49

Re: Těžiště - kruh vepsaný ve čtverci (vztah)

Zápatí