Matematické Fórum

Skrytý text:
Stačí si uvedomiť, že v ľubovoľnej 2D pravouhlej sústave súradníc má jednotkový plošný element rozmerovú jednotku (RJ) rovnú súčinu rozmerových jednotiek osí.

V 2D karteziánskej sústave máme dvojicu osí zvyčajne označených a .
Pri zakresľovaní grafov funkcií alebo izolovaných hodnôt či intervalov priraďujeme hodnotám premenných čísla, ktoré sú násobkom jednotky.
Jedná sa o tzv. bezrozmernú jednotku, ktorá má v našej danej sústave RJ "1".
Ak si človek následne načrtne do tejto sústavy jednotkovú mriežku, plošný element v takejto mriežke má RJ rovnú tiež jednej, pretože 1*1=1.

Ak do danej sústavy chceme narysovať nejaký objekt s definovanými dĺžkovými rozmermi, musíme tomu prispôsobiť i škálovanie RJ osí sústavy.
Najčastejšie sa v takýchto prípadoch osi škálujú na jednotky "cm", teda centimetre - nebýva to však železným pravidlom.
Podobne ako v predchádzajúcom prípade, ak si spočítame plošný element jednotkovej mriežky, ten má v tomto prípade RJ cm*cm=cm^2 (centimeter štvorcový).

Možno si z hodín fyziky pamätáš, keď ste mali zobrazený graf vývoja rýchlosti nejakého hmotného bodu resp. telesa v závislosti na čase (sústava rýchlosť-čas; )
Na základe tohto grafu ste vedeli určiť dráhu, ktorú toto teleso prešlo za určitý časový interval, pomocou plochy pod krivkou grafu ohraničenou daným časovým intervalom.
Všetko vďaka tomu, že plošný element v sústave je daný súčinom RJ rýchlosti (dĺžka/čas) s RJ času, čo zodpovedá RJ dĺžky, čiže dráhy.

Keď to isté aplikujeme na našu sústavu/diagram (sústava tlak-objem), plošný element v tejto sústave je daný súčinom RJ tlaku [hmotnosť/(dĺžka*čas^2)] a RJ objemu (dĺžka^3), teda (hmotnosť*dĺžka^2/čas^2), a to je - k údivu obecenstva - RJ energie/práce.

Bez ohľadu, aké RJ má naša sústava, vzorec na výpočet obsahu kruhu (resp. vo všeobecnosti je lepšie baviť sa o obsahu plochy elipsy) je v každej sústave rovnaký, teda .
V tomto zápise má hodnotu zodpovedajúcu priemeru kruhu vyjadreného v RJ jednej osi a v RJ osi druhej.
Ak toto aplikujeme na náš diagram, dostaneme a následne pre obsah kruhu priamo , čo je v súlade s tvrdením, že plocha ohraničená krivkou v diagrame určuje prácu vykonanú plynom počas kruhového deja.

Snáď to nebolo príliš vyčerpávajúce a dúfam, že som nepovedal nejakú blbosť; ak áno tak prosím kolegov o prípadnú opravu/doplnenie :-)