Matematické Fórum

Tom01 · 16. 09. 2020 17:58

Dobrý den,

můžu se zeptat, jak přijdu na to, že (nx)/(1+n^2x^2) konverguje stejnoměrně na intervalu (1,+infty), ale nekonverguje stejnoměrně na (0,+infty)?

Zkouším to přes limsup pravidlo, ale nemůžu s tím hnout. Díky moc!

vlado_bb

↑ Tom01:Predpokladam, ze bodovu limitu poznas. V takom pripade si staci vsimnut extremy funkcii $f_n$ .

krakonoš

↑ vlado_bb:↑ Tom01:
Ahoj.
Neplatí že funkce budou stejnoměrně konvergovat na (1; nekonečno),když to bude stejnoměrně konvergovat na každém uzavřeném intervalu, který je jeho podmnožinou? Pak by vlastně šlo uvažovat ve smyslu Diniho věty, jestli nepřehlížím nějaký nedostatek, na intervalech[1+epsilon ;K].Aspoň lokálně by to na tom intervalu (1; nekonečno) mělo pak fungovat.

vlado_bb

krakonoš napsal(a):
↑ vlado_bb:↑ Tom01:
Ahoj.
Neplatí že funkce budou stejnoměrně konvergovat na (1; nekonečno),když to bude stejnoměrně konvergovat na každém uzavřeném intervalu, který je jeho podmnožinou?

Ak si mala na mysli uzavrete ohranicene intervaly, tak protipriklady su napriklad

$f_n(x)=\frac xn$

alebo

$f_n(x)=\chi_{[n,\infty)}(x)$

Ak aj neohranicene, tak protiprikad moze byt

$f_n(x)=\frac 1{n(x-1)}$

krakonoš · 17. 09. 2020 10:49

↑ vlado_bb:
Takto by to fungovalo asi jen pro lokální stejnoměrnou konvergenci.
Budeme asi muset vyjít z toho, že jednotlivé funkce mají maxima pro x=1/n, čili pro x>1 už budou všechny funkce f_n(x) klesající a porovnáme-li $\frac{(n-1)x}{1+(n-1)^{2}x^{2}}$ s $\frac{(n)x}{1+(n)^{2}x^{2}}$ dosáhneme stejnoměrné konvergence vlastně podle definice.Aspoň já to tak vidím.

MichalAld · 17. 09. 2020 19:57

Selským rozumem je to jasné, protože v okolí bodu x=0 funkce konverguje "zboku" a né "shora", nejvyšší bod funkce zůstává pořád stejný, a žádnou volbou n ho nedokážeme snížit.

Stačí to jen vhodně matematicky popsat (tj. vyjádřit tu maximální hodnotu, které funkce nabývá a ukázat, že v okolí bodu x=0 ji žádnou volbou n nedokážeme snížit (že na n nezávisí).

Matematické Fórum

#1 16. 09. 2020 17:58

Stejnoměrná konvergence

#2 16. 09. 2020 21:19 — Editoval vlado_bb (16. 09. 2020 21:27)

Re: Stejnoměrná konvergence

#3 16. 09. 2020 22:16 — Editoval krakonoš (17. 09. 2020 00:21)

Re: Stejnoměrná konvergence

#4 17. 09. 2020 03:55 — Editoval vlado_bb (17. 09. 2020 09:15)

Re: Stejnoměrná konvergence

krakonoš napsal(a):

#5 17. 09. 2020 10:49

Re: Stejnoměrná konvergence

#6 17. 09. 2020 19:57

Re: Stejnoměrná konvergence

Zápatí