Matematické Fórum

marostul · 22. 09. 2020 10:19

Dobrý deň. Chcem sa opýtať ako vypočítam previs na reťazovke ked poznám hodnoty vzdialenosti stĺpcov a dĺžky reťaze. Viem aké sú základné vzorce reťazovky aj ako sa počíta vzdialenosť stĺpcov s predlžením. Ďakujem za odpoveď

marostul · 23. 09. 2020 10:55

Nie som si istý ale musíme parametrickou rovnicou vypočítať parameter a zo vzorca $s=a\cdot \sinh \frac{x}{a}$ . Z toho vzorca vypočítať výšku stĺpca podľa rovnice $y=a\cdot \cosh\frac{x}{a}$ . Z výšky sĺpca odrátať a a dostávame previs d. Konečný vzorec je $d=a\cdot \cosh\frac{x}{a} -a$ . Ale keby som poznal výšku sĺpca najmenšiu výšku od zeme a vzdialenosť stĺpcou, pznal by som previs ale nepoznám dĺžku reťaze vtedy sa parameter nedá s toho počítať. ako sa počíta dĺžka reťaze keď poznám previs reťaze a dĺžku medzi stĺpami.

marostul · 23. 09. 2020 11:26

Myslím si, že v poslednej rovnici sme mohli vyjadriť parameter a z rovnice $d=a\cdot \cosh\frac{x}{a} -a$ . a potom vložiť do vzorca $s=a\cdot \sinh \frac{x}{a}$ . nie som si istý či tie odvodenia sú správne.

Honzc · 23. 09. 2020 12:02 — Editoval Honzc (26. 09. 2020 09:55)

↑ marostul:
označíme-li délku mezi sloupy v, převis (i když v češtině spíš nazývaný průvěs) d dostaneme
$x=\frac{v}{2}$ a $y=d+a$
a tedy $d+a=a\cosh\frac{v}{2a}$
Z této rovnice (která je transcendentní) spočítáš (např.Newtonovou, tj.numerickou metodou) a
Newtonova metoda výpočtu a $a_{n+1}=a_{n}-\frac{a_{n}(cosh(\frac{v}{2a_{n}})-1)-d}{cosh(\frac{v}{2a_{n}})-\frac{v}{2a_{n}}sinh(\frac{v}{2a_{n}})-1}$
Jako první odhad lze volit $a_{0}\approx \frac{v}{2d}$
a pak délka řetězu bude
$L=2a\sinh\frac{v}{2a}$
Pozn.: Pro v=2,d=1 vyjde a=0.61875923, L=2.9916774 (třeba v metrech)

Po editaci: Špatně jsem si přečetl zadání
Je-li dáno v a L pak d se vypočítá
nejdříve se z rovnice $a \sinh\frac{v}{2a}-\frac{L}{2}=0$ spočítá např.Newtonovou metodou a
$a_{n+1}=a_{n}-\frac{a_{n} \sinh\frac{v}{2a_{n}}-\frac{L}{2}}{\sinh\frac{v}{2a_{n}}-\frac{v}{2a_{n}}\cosh\frac{v}{2a_{n}}}$
Jako a0 lze volit $a_{0}=\frac{v}{L}$ , Podmínka řešitelnosti $v<L$
Průvěs d je potom
$d=a\cosh\frac{v}{2a}-a$
Např. pro v=2 a L=3 je a=0.616473 a d=1.0053