Matematické Fórum

sykoriam · 22. 09. 2020 22:34

Zdravím Vás,

potřeboval bych objasnit věci ohledně metod Runge-Kutta čtvrtého řádu a Newton-Raphson pro hledání kořenů. Řeším výbuchy hybridních směsí k tématu mé disertační práce a nyní se nacházím ve stavu, kdy chci ověřit jistý model, který se používá k modelování výbuchů prachů. Článek, ze kterého čerpám však neuvádí přesné postupy a řešení matematického modelu. Jsem spíš fyzikální chemik a tak studium matematického modelování by pro mě byla zbytečná ztráta času, obzvlášť když se jedná pouze o dílčí krok v porvnání s celkovým obsahem disertační práce.

Metodou Runge-Kutta čtvrtého řádu mají být řešeny tyto rovnice:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2020-09/05484_RK4.png

Metodou Newton-Raphson pak tyto:

Obě metody jsou provázané. Neznámé jsou v jednotlivých rovnicích tyto: rrear, rfront a P.

Výsledkem by měly být grafy, např:

Pro jistotu předpkládám celý článek, rovnice jsou řešeny v části "three-zone model".
//forum.matweb.cz/upload3/img/2020-09/05970_1996_Dahoe_Flame%2Bthickness-01.png

Pokud by mi byl někdo schopen pomoct, klidně i za úplatu, bud moc rád. Děkuji. Už jsem opravdu zoufalý.

laszky · 23. 09. 2020 01:41 — Editoval laszky (23. 09. 2020 10:01)

Ahoj, tak ja bych rekl, ze:

Pripad 1:

Faze 1a: Zacnes resit ODR (23) pomoci RK4, pricemz postupne pomoci NM aplikovane na (22) dopocitavas $r_{\mathrm{front}}$ . Jakmile $r_{\mathrm{front}}$ dosahne hodnoty $\delta$ jses ve fazi 1b.

Faze 1b: Resis ODR (27) pomoci RK4, pricemz postupne pomoci NM aplikovane na (26) dopocitavas $r_{\mathrm{front}}$ . Nasledne $r_{\mathrm{rear}}=r_{\mathrm{front}}-\delta$ . Jakmile $r_{\mathrm{front}}$ dosahne hodnoty $R_{\mathrm{vessel}}$ jses ve fazi 1c.

Faze 1c: Resis ODR (31) pomoci RK4, pricemz postupne pomoci NM aplikovane na (30) dopocitavas $r_{\mathrm{rear}}$ . Pokracujes dokud neni $r_{\mathrm{rear}}=R_{\mathrm{vessel}}$ .

Pripad 2:

Faze 2a: Opet zacnes resit ODR (23) pomoci RK4, pricemz postupne pomoci NM aplikovane na (22) dopocitavas $r_{\mathrm{front}}$ . Jakmile $r_{\mathrm{front}}$ dosahne hodnoty $R_{vessel}$ jses ve fazi 2b.

Faze 2b: Resis ODR (34) pomoci RK4, pricemz postupne pomoci (33) dopocitavas konstantu $a$ . Pokracujes dokud neklesne $a$ na nulu.

Faze 2c: Opet resis ODR (31) pomoci RK4, pricemz postupne pomoci NM aplikovane na (30) dopocitavas $r_{\mathrm{rear}}$ . Pokracujes dokud neni $r_{\mathrm{rear}}=R_{\mathrm{vessel}}$ .

-----------------

Runge-Kuttovu metodu ctvrteho radu (RK4) a Newtonovu metodu (NM) naleznes napr. v Matlabu, jejich popis je ale vsude mozne na netu a urcite je na par radcich zvladnes naprogramovat sam.

Konkretni postup:
Napr. algebraicko-diferencialni soustavu rovnic (30)+(31) ve fazi 1c resp. 2c muzes resit tak, ze udelas jeden krok RK4 v ODR (31) (tj. spocitas hodnotu tlaku na nove casove vrstve s vyuzitim hodnoty $r_{\mathrm{rear}}$ z predchozi casove vrstvy). Nasledne tuto novou hodnotu tlaku pouzijes v rovnici (30) a pomoci NM vypocitas hodnotu $r_{\mathrm{rear}}$ na nove casove vrstve, atd.

MichalAld · 23. 09. 2020 15:26

Můžeš pro začátek použít i jednodušší metodu než jen Runge-Kutta. Můžeš třeba použít Eulerovu metodu - sice není tak přesná, ale pro začátek by to mohlo stačit. Vůbec nic na tom není, nejspíš by to šlo udělat i v excelovské tabulce.

Když máš diferenciální rovnici typu

$\frac{dp}{dt} = F(p)$

(jestli tomu rozumím, tak to je přesně to co máš řešit ... složitá jen jen tak funkce F(p), tedy celá ta pravá strana)

no tak z ní uděláš diferenční rovnici - prostým nahrazením nekonečně malými elementy konečně malými, tedy

$\frac{\Delta p}{\Delta t} = F(p)$

$\Delta p = F(p) \Delta t$

$p_{n+1} = p_n + F(p_n) \Delta t$

To $\Delta t$ musíš vzít nějaké hodně malé (když nevíš jaké, tak ho budeš zmenšovat tak dlouho, až už se výsledek moc nemění), zvolíš nějaké p0 a pak už celý proces jen pořád dokola opakuješ...

Runge-Kuttova metoda je v principu to samé, akorát ten vzoreček jak z $p_n$ udělat $p_{n+1}$ je trochu složitější.

Pro začátek si také můžeš zvolit nějakou jednodušší funkci F(p),

sykoriam · 01. 10. 2020 10:50

Děkuji Vám mnohokrát, pánové, za navedení správným směrem. Zkusím to nějak splácat a snad uvidím, jakou odchylku má tento model pro výbuchy prachů od praktické realizace výbuchů hybridních směsí.

MichalAld · 01. 10. 2020 21:55

Rozhodně bych nejdřív udělal ten praktický experiment ... možná se už pak nebudeš muset s počítáním trápit...

Matematické Fórum

#1 22. 09. 2020 22:34

Runge-Kutta čtvrtého řádu a Newton-Raphson pro hledání kořenů

#2 23. 09. 2020 01:41 — Editoval laszky (23. 09. 2020 10:01)

Re: Runge-Kutta čtvrtého řádu a Newton-Raphson pro hledání kořenů

#3 23. 09. 2020 15:26

Re: Runge-Kutta čtvrtého řádu a Newton-Raphson pro hledání kořenů

#4 01. 10. 2020 10:50

Re: Runge-Kutta čtvrtého řádu a Newton-Raphson pro hledání kořenů

#5 01. 10. 2020 21:55

Re: Runge-Kutta čtvrtého řádu a Newton-Raphson pro hledání kořenů

Zápatí