Matematické Fórum

petr152 · 01. 10. 2020 15:54

Zdravím,

na začátku svého studia na VŠ jsem dostal 2 domácí úkoly a já vůbec netuším, jak je vyřešit. Koukal jsem se na YT na jednoduché derivace a to tak nějak chápu, ale tohle vůbec.

Byl by někdo tak ochotný a poradil by mi s těmito příklady?

//forum.matweb.cz/upload3/img/2020-10/60458_120430593_2529092294018396_3640622121873353689_n.jpg

Předem díky.

david_svec

↑ petr152:

Zdravím,

podle definice derivace funkce f v bodě $x_{0}$ : $\lim_{x\to{x_{0}}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$ si v prvním příkladě zvolíme, že $f(x)=x^{4}$ . Platí tedy: $\lim_{x\to{x_{0}}}\frac{x^{4}-x_{0}^{4}}{x-x_{0}}$ . Čitatel upravíme podle vhodného vzorce.

U druhého příkladu využij, že $\cos (x)=\sin \Big(x+\frac{\pi }{2}\Big)$ .

petr152 · 01. 10. 2020 19:57

A má to pak vypadat takhle? To je výsledek? Asi ne co? :D

kde to vůbec bereš ty čísla?

//forum.matweb.cz/upload3/img/2020-10/75051_Image%2B2.png

Předem díky.

Ferdish

↑ petr152:
Kde to vůbec bereš ty čísla? - nie som si istý, čo tým myslíš. Kolega ↑ david_svec: so žiadnymi číslami neoperoval.

Pri $x^{4}-x_0^{4}$ sa ťa snažil naviesť na použitie rozkladového vzorca pre všeobecný výraz $a^{n}-b^{n}$ - predpoklad je, že ste to preberali v rámci matematiky na SŠ.
Ak náhodou nie resp. si na to nepamätáš, tak môže pomôcť (a nielen teraz, ale i do budúcna) lokálny odkaz.

$\cos (x)=\sin \Big(x+\frac{\pi }{2}\Big)$ je tiež niečo, čo by si si mal pamätať zo SŠ. Súčtové vzorce pre sínus a kosínus detto. Ale aj tie sa dajú na internete ľahko vyhľadať.

Ak sa ti napriek všetkému nedari spočítať deriváciu podľa $\lim_{x\to{x_{0}}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$ , môžeš skúsiť alternatívnu definíciu $\lim_{a\to{0}}\frac{f(x+a)-f(x)}{a}$ .

david_svec

↑ petr152:

Já jsem jen dosadil zadanou funkci (y=x^4) do definice derivace. Zápis "f(x)= ... " je stejný jako "y= ... ".

Po dosazení zadané funkce (té u které chceme odvodit derivaci) do definice máme: $\lim_{x\to{x_{0}}}\frac{x^{4}-x_{0}^{4}}{x-x_{0}}$ . Teď to musím nějak upravit, abych poté mohl provést limitu x->x0 (kdybych to teď udělal, dostal bych v čitateli a ve jmenovateli nulu - což by byl neurčitý výraz a ničím bych si tedy nepomohl).

Musím se nějak zbavit toho jmenovatele, ideálně kdyby to šlo nějak "pokrátit". Tudíž na čitatel aplikuji vzorec $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ (bude třeba ho použít dvakrát). A poté to už půjde docela pěkně upravit, aby šla provést limita. :)

EDIT: kolega ↑↑ Ferdish: (zdravím) to už v podstatě vysvětlil, ale nechám to tu. :-)

MichalAld

Já bych spíš doporučoval použít vzorec

$\lim_{\Delta x\to{0}}\frac{f(x + \Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

A jednoduchá ukázka pro $y = x^2$

$\lim_{\Delta x\to{0}}\frac{(x + \Delta x)^2-x^2}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to{0}}\frac{x^2 + 2x\Delta x + \Delta x^2-x^2}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to{0}}(2x + \Delta x)=2x$

Pro x^4 je to to samé, jen se použije jiný vzorec. Pro sin(x) to bude taky podobné, jen použít vzorec na sinus souctu...asi, nikdy jsem to nedělal...

Ferdish · 02. 10. 2020 09:52

↑ MichalAld:

:-)

petr152 · 02. 10. 2020 14:53

Takže ten první příklad má vypadat takhle?

//forum.matweb.cz/upload3/img/2020-10/43150_Image%2B1.png

a jak se začne s tím druhým příkladem? Opravdu si vůbec nevím rady ani jak začít.

$\cos (x)=\sin \Big(x+\frac{\pi }{2}\Big)$ .

co mám s tímto udělat?

Předem moc díky

jarrro · 02. 10. 2020 15:10 — Editoval jarrro (02. 10. 2020 15:11)

$$x+\Delta x$^4=x^4+4x^3\Delta x+6x^2$\Delta x$^2+4x$\Delta x$^3+$\Delta x$^4$

Deriváciu sínusu už si odvodil.

petr152 · 02. 10. 2020 16:16

To první jsi mi napsal k tomu prvnímu příkladu? takhle to má vypadat?

No a co mám potom dělat s tím druhým příkladem?

Díky

Ferdish · 02. 10. 2020 16:43

↑ petr152:
Áno, je to k tvojmu prvému príkladu - derivácia funkcie $f(x)=x^{4}$ - ale nie je to výsledok, ale len rozklad člena $$x+\Delta x$^4$ ktorý si rozložil nesprávne. Porovnaj si čo si napísal na papier ty a čo kolega.

Čo sa týka druhého príkladu, dosaď do predpisu $\lim_{\Delta x\to{0}}\frac{f(x + \Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ funkciu $f(x)=\cos x$ a vyrieš limitu.
IMHO to bude pre teba jednoduchšie ten kosínus nechať v pôvodnom tvare, než ho transformovať na sínus. Aj keď...

petr152 · 02. 10. 2020 17:10

Takže to má vypadat takto?

//forum.matweb.cz/upload3/img/2020-10/51364_Image%2B4.png

a co se s tím pak udělá?

Ohledně toho dosazování u druhého příkladu, to vůbec nevím, jak mám co kam dosadit, mohl bych ještě požádat o radu?

Ferdish

Riešiš limitu, tým pádom nie je vhodné až do určenia jej hodnoty vynechávať pred vyšetrovaným výrazom označenie $\lim$ , u teba konkrétne $\lim_{\Delta x\to0}$ .
V poslednom riadku ti ostal iba jediný člen ktorý neobsahuje $\Delta x$ alebo jeho mocninu. Ten jediný ti tá limita nevynuluje - a to je tvoja hľadaná hodnota derivácie.

U toho druhého príkladu to bude podobne, len do predpisu príslušnej limity namiesto $f(x)=x^{4}$ dosadíš $f(x)=\cos x$ .

Snáď nemusím zdôrazňovať, že ak $f(x)=\cos x$ , potom $f(x+\Delta x)=\cos (x+\Delta x)$ a teda že to povedie na použitie súčtového vzorca pre kosínus.
Riešenie si však vyžaduje malý "trik" v podobe znalosti dvoch špecifických limít podielu - a tu si nie som istý, či ste to na SŠ preberali.

BTW ty si so SŠ matematikou asi nebol príliš veľký kamarát, že?

Matematické Fórum

#1 01. 10. 2020 15:54

Derivace

#2 01. 10. 2020 16:21 — Editoval david_svec (01. 10. 2020 16:35)

Re: Derivace

#3 01. 10. 2020 19:57

Re: Derivace

#4 01. 10. 2020 20:20 — Editoval Ferdish (01. 10. 2020 20:21)

Re: Derivace

#5 01. 10. 2020 20:27 — Editoval david_svec (01. 10. 2020 20:29)

Re: Derivace

#6 01. 10. 2020 21:52 — Editoval MichalAld (01. 10. 2020 21:53)

Re: Derivace

#7 02. 10. 2020 09:52

Re: Derivace

#8 02. 10. 2020 14:53

Re: Derivace

#9 02. 10. 2020 15:10 — Editoval jarrro (02. 10. 2020 15:11)

Re: Derivace

#10 02. 10. 2020 15:20 Příspěvek uživatele Ferdish byl skryt uživatelem Ferdish. Důvod: kolega rýchlejší

#11 02. 10. 2020 16:16

Re: Derivace

#12 02. 10. 2020 16:43

Re: Derivace

#13 02. 10. 2020 17:10

Re: Derivace

#14 02. 10. 2020 17:24 — Editoval Ferdish (02. 10. 2020 17:36)

Re: Derivace

Zápatí