Matematické Fórum

rois · 04. 10. 2020 22:18

Dobrý večer potřeboval bych pomoct s příkladem:
Určete rovnici kružnice, která má střed S na přímce p: 5x-7y-8=0 a dotýká se přímek $t_{1}:2x-y=0$ a $t_{2}:x-2y-6=0$ .
Podařilo se mi sestavit šest rovnic o sedmi neznámých, ale jsem přesvědčen, že existuje nějaký jednodušší způsob řešení.

Ferdish · 04. 10. 2020 22:55

Ako prvé by som určil súradnice stredu hľadanej kružnice. Je to bod, ktorého vzdialenosť od oboch dotyčníc je rovnaká.

Na určenie vzdialenosti bodu (u nás stred kružnice) od priamky v rovine (u nás jedna z dotyčníc) existuje vzorček.
Ak ste sa ho učili resp. ak ho môžte použiť, tak sa riešenie o dosť zjednoduší. Ak nie, dá sa odvodiť :-)

Vyjadri si teda obe vzdialenosti pre každú z dotyčníc a daj ich do rovnosti - po úprave dostaneš nejaký vzťah medzi súradnicami stredu.
Stred podľa zadania leží na priamke danej rovnicou $5x-7y-8=0$ , jeho súradnice teda musia tejto rovnici vyhovovať. Stačí teda získaný vzťah dosadiť do rovnice tejto priamky a dopočítať súradnice.

Následné zistenie polomeru kružnice, keď sú známe súradnice stredu, by nemal predstavovať vážnejší problém...

krakonoš · 04. 10. 2020 22:57

↑ rois:
Možná by šlo využít toho, že střed kružnice by měl podle mě ležet na ose toho úhlu. Stacilo by pak stanovit rovnici osy , dostaneme tak souadnice středu S. Vzdálenost S od dotykové přímky bude poloměr.

rois · 04. 10. 2020 23:08

Děkuji mockrát! Nějak mi nedošlo že mi z té rovnosti vzdáleností vyjde vztah mezi x a y, poté už ten příklad je opravdu jen na dopočítání.↑ Ferdish:

krakonoš

↑ rois:↑ Ferdish:
Kdybyste použili úvahu, vyšli byste ze vzorce cos 2alfa=skalarni soucin/soucin norem pro zadané dotykové přímky, pomocí porovnání s cos alfa pro osu a první dotykovou přímku, dále pak s cos alfa pro osu uhlu a druhou dotykovou přímku, vztah mezi cos alfa a cos 2 alfa známe, určila by se už snadno rovnice osy úhlu. Její průnik se zadanou přímkou, kde leží střed, je střed kružnice. Poloměr určíte pak velice snadno, můžete využít cos alfa, to dá sin alfa...

misaH · 05. 10. 2020 12:50

↑ krakonoš:

Na SŠ myslím zložité.

Nevieš, čo sa už učili...

Rovnicu osi uhla - no, neviem...

Ale iste myšlienka je správna.

Postup od Ferdiša je "základný".

krakonoš · 05. 10. 2020 13:04

↑ misaH:
To mě jen tak napadlo.Přiznám se ale,že vzorec na výpočet vzdálenosti bodu od přímky vůbec neznám. Musela bych si ho celý odvodit (kolmý vektor k přímce, průnik kolmých přímek, vzdálenost bodů....), ale ten s cos alfa pasivně znám, už jen kvůli Swarzově nerovnosti.

Cheop · 05. 10. 2020 13:40

↑ misaH:
Jen malá poznámka:
Rovnice osy dvou přmek vychází z výpočtu vzdálenosti bodu od přímky.
Respektive, že vzdálenosti středu kružnice od tečen se rovnají.
V našem případě je osa dána rovnicí:
$\frac{|2x-y|}{\sqrt 5}=\frac{|x-2y-6|}{\sqrt 5}$

misaH · 05. 10. 2020 16:20

↑ Cheop:

:-)

Matematické Fórum

#1 04. 10. 2020 22:18

Analytická geometrie - Kružnice a elipsa

#2 04. 10. 2020 22:55

Re: Analytická geometrie - Kružnice a elipsa

#3 04. 10. 2020 22:57

Re: Analytická geometrie - Kružnice a elipsa

#4 04. 10. 2020 23:07 Příspěvek uživatele rois byl skryt uživatelem rois. Důvod: Chyba

#5 04. 10. 2020 23:08

Re: Analytická geometrie - Kružnice a elipsa

#6 05. 10. 2020 12:42 — Editoval krakonoš (05. 10. 2020 12:45)

Re: Analytická geometrie - Kružnice a elipsa

#7 05. 10. 2020 12:50

Re: Analytická geometrie - Kružnice a elipsa

#8 05. 10. 2020 13:04

Re: Analytická geometrie - Kružnice a elipsa

#9 05. 10. 2020 13:40

Re: Analytická geometrie - Kružnice a elipsa

#10 05. 10. 2020 16:20

Re: Analytická geometrie - Kružnice a elipsa

Zápatí