Matematické Fórum

s-o-k-o-l · 07. 10. 2020 17:55

Hezký večer,
potřeboval bych pomoci s nasměrováním v následující úloze:
2 koule - jedna z olova, druhá ze železa. Obě mají stejný průměr, stejnou hmotnost. Tedy jsou "duté". Potřebuji vypočítat, jaká bude mít jaké zrychlení na nakloněné rovině.

Dostal jsem se k vyjádření momentu setrvačnosti J pro olověnou i železnou kouli. Oba výrazy jsou závislé pouze na hmotnosti, vnějšímu poloměru a hustotě. Takže to je OK ... jak ale nyní zjistit zrychlení na nakloněné rovině? Děkuji za radu.

Poznámka: nejde o domácí úkol. To se tak 2 lidé a 1 přihlížející baví u oběda. A z dotazu, co bude rychlejší, se stane domácí úloha pro jednoho, kterému to nedá spát. takže mě ... díky :)

Ferdish

To sami nejako nezdá...ak nebudeme uvažovať valivý odpor ani odpor vzduchu, tak zrýchlenie telies nezávisí na hmotnosti telesa, iba na veľkosti uhla ktorý zviera naklonená rovina s vodorovnou rovinou.

Čo sa týka toho vyjadrenia momentu zotrvačnosti: jeho hodnota odráža rozloženie hmoty telesa vzhľadom na os otáčania. Hustota $\varrho$ , sa vo vzťahu pre moment zotrvačnosti môže vyskytovať v prípade, že je hmotnosť telesa vyjadrená ako $m=\varrho V$ kde $V$ je objem telesa. Naraz však obe veličiny (hmotnosť aj hustota) vo vzťahu pre moment zotrvačnosti byť nemôžu.
V prípade gule, ktorej os otáčania prechádza jej stredom, závisí jej moment zotrvačnosti len od jej hmotnosti $m$ a (vonkajšieho) polomeru $r$ v dvoch prípadoch:

a) plná guľa, ktorej moment zotrvačnosti je $I=\frac{2}{5}mr^{2}$

b) dutá tenkostenná guľa, ktorej hrúbka steny << $r$ . Jej moment zotrvačnosti je daný ako $I=\frac{2}{3}mr^{2}$

V prípade gule s hrúbkou steny nezanedbateľnou voči jej polomeru je treba brať do úvahy aj vnútorný polomer (polomer dutiny). Neviem ako veľké resp. ťažké majú byť gule v tvojich úvahách, ale vzhľadom na to, že majú mať rovnakú hmotnosť i vonkajší polomer a že hustota olova je cca 1,5x väčšia ako hustota železa, tak ich vnútorné polomery budú určite rozličné, čo povedie aj na rozličnú hodnotu momentu zotrvačnosti.

s-o-k-o-l

↑ Ferdish:

Souhlas ... hlavně s posledním odstavcem. Ta tloušťka stěny bude nezanedbatelná. V případě koule z olova bude, jak říkáte, mít ta koule tenčí vrstvu materiálovou než koule z železa. Momenty setrvačnosti jsem vypočetl u obou koulí, jaké budou. Správně jste poznamenal, že budou jiné - k tomu jsem se také dostal. Ale nyní potřebuji vztah, do kterého mám dosadit moment setrvačnosti, abych zjistil zrychlení.

PřECI V REÁLU SE MI TY 2 KOULE BUDOU POHYBOVAT JINAK. Nebo se pletu? A budou se pohybovat se stejným zrychlením?

Ferdish · 07. 10. 2020 19:08

↑ s-o-k-o-l:
Podľa toho, čo myslíš pod pojmom "v reále" :-) pri skutočnom pohybe zohraje svoju rolu odpor prostredia i valivý odpor, aj keď odchýlky od ideálneho prípadu, kedy tieto vplyvy neuvažujeme, by nemuseli byť veľké - záleží od situácie.

Ale už viem, kde som spravil chybu pri svojich úvahách - to, že zrýchlenie telies nezávisí na hmotnosti telesa, iba na veľkosti uhla ktorý zviera naklonená rovina s vodorovnou rovinou, platí vo všeobecnosti pre posuvný pohyb. Pri pohybe gule treba brať do úvahy i otáčavý pohyb okolo osi - a vtedy začne na výsledok vplývať tá koťuha zvaná moment zotrvačnosti :-) Moment zotrvačnosti je mierou náročnosti uvedenia telesa do otáčavého pohybu. Na teleso s väčším momentom zotrvačnosti musíme pôsobiť väčšou silou, aby sme mu udelili rovnaké zrýchlenie. Keďže však na naklonenej rovine pôsobí na obe telesá rovnako veľká sila (ktorá závisí iba od hmotnosti telies, ktorá je však u oboch rovnaká), tak vzhľadom na rozličnú hodnotu momentu zotrvačnosti sa musia pohybovať s rozličným zrýchlením - teleso s väčším momentom bude mať menšie zrýchlenie.

zdenek1 · 07. 10. 2020 19:19

↑ s-o-k-o-l:
Prostě sestavíš pohybové rovnice (zanedbáváme valivé tření a odpor atmosféry, smykové ne, to by se to nevalilo)
$\begin{cases}mg\sin\alpha-T=ma\\Tr=J\frac ar\end{cases}$

MichalAld

Jde to i bez počítání ... pokud jsou koule stejně těžké, a překonávají stejný výškový rozdíl, mají také stejnou potenciální energii.

Když je necháme skutálet, tak se ta potenciální energie rozdělí na pohybovou energii té rotace, a pohybovou energii posuvu té koule.

A vzhledem k tomu, že jsou steně velké, a valí se bez prokluzování, tak když by měly stejnou rychlost, měly by stejnou energii toho posuvu

$E_p = \frac{1}{2}mv^2$

A měly by tím pádem i stejnou rychlost rotace $\omega$ (protože se valí a jsou stejně velké)

A energie rotačního pohybu je

$E_r = \frac{1}{2}I\omega^2$

Takže koule, jež má větší moment setrvačnosti I by měla větší rotační energii. To ovšem nemůže nastat, protože celkovou energii Ep+Er musejí mít stejnou, takže koule co má větší moment setrvačnosti se musí nutně kutálet pomaleji.

Moment setrvačnosti je tím větší, čím více je hmota toho rotujícího tělesa vzdálená od osy rotace. Obecně je na to vzorec (vyžadující integrování), ale pokud jsou koule zvenku stejné a mají stejnou hmotnost, tak je jasné, že ta olověná bude mít tenší stěnu ... tím pádem má hmotnost dále od osy rotace, takže má větší ten moment setrvačnosti ... takže se bude kutálet pomaleji.

Nejspíš lze i určit jak pomaleji ... protože

$E = mgh = E_p + E_r = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$

a mezi rychlostí rotace a posuvu je vztah $v = \omega r$ takže

$E = mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}\frac{I}{r^2}v^2 = \frac{1}{2}(m + \frac{I}{r^2})v^2$

$v = \sqrt{2\frac{mgh}{m + \frac{I}{r^2}} }$

Ještě bych podotkl, že ačkoliv výsledek vypadá, že závisí na hmotnosti, ve skutečnosti to tak není. Neboť ten moment setrvačnosti I je vždy $I = kmr^2$ , kde k je nějaká konstanta popisující to rozložení hmoty. Takže když to tam dosadíme, tak nám hmotnost vypadne...

$v = \sqrt{2\frac{mgh}{m + \frac{kmr^2}{r^2}}} = \sqrt{2\frac{gh}{1+k}}$

Pokud by byla celá hmotna soustředěna ve středu koule, bude k=0 a dostáváme známý vztah $v = \sqrt{2gh}$

Pokud bude celá hmota na povrchu koule, bude k = 1 , a dostali bychom vztah $v = \sqrt{gh}$ . Všechny ostatní varianty budou někde mezi tím ...

Takže ano, na hmotnosti koule to vlastně nezáleží ... když budeme mít železnou a plastovou kouli, a budou mít STEJNÝ TVAR (včetně té dutiny uvnitř) budou se také kutálet stejně rychle. Vlastně nezáleží ani na velikosti té koule...

PS: neručím za to, že je to vše správně...

MichalAld · 07. 10. 2020 20:08

Jednu věc tam mám chybně určitě, k=1 neznamená, že bude hmota na povrchu koule ... ale že bude celá na jejím "rovníku", případně že by to byl válec, a né koule. Prostě všechna hmota musí být ve vzdálenosti r od osy rotace.

s-o-k-o-l · 07. 10. 2020 20:14

↑ Ferdish: ↑ zdenek1: ↑ MichalAld:
Perfektní kluci. Díky moc za pomoc :) zítra u oběda máme co řešit. Kolegyně nebude asi nadšená, nicméně problém vyřešen :D

Matematické Fórum

#1 07. 10. 2020 17:55

Pohyb homogenní duté koule po nakloněné rovině - zrychlení

#2 07. 10. 2020 18:30 — Editoval Ferdish (08. 10. 2020 09:44)

Re: Pohyb homogenní duté koule po nakloněné rovině - zrychlení

#3 07. 10. 2020 18:36 — Editoval s-o-k-o-l (07. 10. 2020 18:41)

Re: Pohyb homogenní duté koule po nakloněné rovině - zrychlení

#4 07. 10. 2020 19:08

Re: Pohyb homogenní duté koule po nakloněné rovině - zrychlení

#5 07. 10. 2020 19:19

Re: Pohyb homogenní duté koule po nakloněné rovině - zrychlení

#6 07. 10. 2020 19:19 Příspěvek uživatele Ferdish byl skryt uživatelem Ferdish. Důvod: uvažoval som o rýchlosti, nie o zrýchlení :-)

#7 07. 10. 2020 20:00 — Editoval MichalAld (07. 10. 2020 20:03)

Re: Pohyb homogenní duté koule po nakloněné rovině - zrychlení

#8 07. 10. 2020 20:08

Re: Pohyb homogenní duté koule po nakloněné rovině - zrychlení

#9 07. 10. 2020 20:14

Re: Pohyb homogenní duté koule po nakloněné rovině - zrychlení

Zápatí