Matematické Fórum

2M70 · 28. 09. 2020 16:40

Zdravím,

budu vděčný za jakoukoli radu či pomoc s tímto příkladem. Předem děkuji!

Označme
v = (1,1,1) a w = (1,0,1) dva vektory v R^3 se standardním skalárním součinem a W = <v,w> jejich lineární obal. Pomocí konkrétního příkladu ukažte, proč není zobrazení $P_{v}+P_{w}$ rovno projekci do podprostoru W.

Můj pokus o řešení:

Projekce vektoru $P_{v}(v)$ je ten samý vektor, (1,1,1)
Projekce vektoru $P_{w}(w)$ je ten samý vektor, (1,0,1)

Součet projekcí $P_{v}+P_{w}$ je (1,1,1) + (1,0,1) = (2,1,2)

Lineární obal vektorů v, w je jejich libovolná lineární kombinace a.v + b.w, např. pro a=b=1 dostanu
<v,w> = <(1,1,1), (1,0,1)>

Dle definice má být projekce $P_{W}$ na podprostor W rovna

<v,u>.v + <w,u>.w

a ta nemá být rovna součtu projekcí $P_{v}+P_{w}$

Teď jde ale o to, co dosadit za ten vektor "u" ?

To mě zaskočilo a teď nevím, jak dál.

Předem díky za pomoc!

Sherlock

Ahoj,

Projekce na podprostor $W$ je lineární zobrazení $P: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ , pro které:

1. $\text{Im}(P) = W$
2. $P \circ P = P$

$P_v, P_w$ jsou asi projekce na $<v>$ a na $<w>$ . Je potřeba ukázat že zobrazení $P_v + P_w$ , definované na vektoru $x \in \mathbb{R}^3$ jako $(P_v+ P_w)(x) = P_v(x) + P_w(x)$ , nesplňuje některou z těchto podmínek.

Abych ještě reagoval na tvůj dosavadní text,

Součet projekcí $P_{v}+P_{w}$ je (1,1,1) + (1,0,1) = (2,1,2)

Toto mi vůbec nedává smysl protože $P_{v}$ je přece (lin.) zobrazení a NE vektor $(1,1,1)$ .

edit: oprava $\mathbb{R}^4$ na $\mathbb{R}^3$

2M70 · 08. 10. 2020 13:01

↑ Sherlock:

Ten součet projekcí - vycházel jsem z tvrzení

$P_{v}(v)=v$

stále mi ale není jasné, jak dospět k výslednému požadavku, tedy že zobrazení

$P_{v}+P_{w}$

není rovné projekci $P_{W}$

na podprostor W.

Matematické Fórum

#1 28. 09. 2020 16:40

Projekce na podprostor, daný lineárním obalem

#2 01. 10. 2020 11:10 — Editoval Sherlock (03. 10. 2020 19:59)

Re: Projekce na podprostor, daný lineárním obalem

#3 08. 10. 2020 13:01

Re: Projekce na podprostor, daný lineárním obalem

Zápatí