Matematické Fórum

Headclass

Dobrý deň,
ako bonusovú úlohu sme v škole dostali spracovať niekoľko príkladov so zjednoteniami a prienikmi nekonečne veľa intervalov. Moja otázka sa ale netýka týchto príkladov, len postupu, ako spracovať jeden z nich. Podotýkam, že limity, ani matematickú analýzu sme ešte nepreberali, nasledujúce kroky som pospájal z toho, čo som bol schopný si prečítať na internete a v rôznych iných materiáloch. Dostal som sa k istému "okoliu okolo bodu", čo je ešte jednoduchší pojem, ak sa pracuje na jednorozmernej číselnej osi, ako je interval na číselnej osi.

Moja otázka je, či je korektné prepísať interval $(0,\infty )$ ako $\langle0+\varepsilon ,\infty)$ , kde $\varepsilon =\lim_{x\to\infty }\frac{1}{x}$ .

Ide o to, že súčasťou jedného z príkladov je, že ako vyzerá prienik všetkých intervalov $\langle-t,t\rangle$ , ak $t\in (0,\infty )$ . Najmenší interval z týchto intervalov je podľa mňa $\langle0-\varepsilon ,0+\varepsilon \rangle$ . Nejde teda čisto len o nulu, ale o interval, ktorý obsahuje čísla od nekonečne malého čísla pod nulou, po nekonečne malé číslo, ktoré je ale väčšie ako nula. Je to pravda, alebo sa mýlim?

Riešenie horeuvedeného príkladu, čiže prienik všetkých intervalov, ktoré su daným spôsobom definované, je samozrejme množina reálnych čísel. Otázku sa pýtam čisto zo zvedavosti.

Edit: v odstavci nad týmto som chcel povedať "zjednotenie" namiesto "prienik".

Ďakujem za odpovede.

misaH · 09. 10. 2020 23:57

↑ Headclass:

No - neviem.

Prienik množín je ten, ktorý patrí do všetkých.

Prienik intervalov $\langle-5;5\rangle$ a $\langle-8;8\rangle$ je predsa ten "päťkový".

Alebo sa mýlim?

Headclass · 09. 10. 2020 23:58

↑ misaH:

Chcel som povedať zjednotenie, ospravedlňujem sa. Každopádne, moja otázka smerovala najmä k prepisu toho intervalu. Či je správne ho tak prepísať.

vlado_bb · 10. 10. 2020 06:55

↑ Headclass:Nie je. Pretoze pri tvojom oznaceni je $\varepsilon =\lim_{x\to\infty }\frac{1}{x}=0$ a teda $\langle0+\varepsilon ,\infty)=\langle 0,\infty)$ .

A nekonecne male cislo vacsie ako nula neexistuje.

Headclass · 10. 10. 2020 12:45

↑ vlado_bb:
Ak neexistuje nekonečne malé číslo väčšie ako nula, akým spôsobom mám zistiť prienik nekonečne veľa intervalov, ktoré sú zapísané ako $\langle-t,t\rangle$ , kde $t\in (0,\infty )$ ? Neviem, či je týmto prienikom iba nula, alebo je to interval $\langle-\varepsilon ,\varepsilon \rangle$ , ktorý obsahuje nulu, ale je o niečo väčší, ako samotná nula.

Alebo sa skôr spýtam toto: Je pravda, že $\langle-\varepsilon ,\varepsilon \rangle = \{0\}$ , kde epsilon je definovaný v mojom prvom príspevku? Ak je toto pravda, budem ten príklad vedieť vyriešiť.

Ak nie, aké je najmenšie t, ktoré viem vložiť do intervalu $\langle-t,t\rangle$ ? Nie je to nula, keďže definičný obor nulu neobsahuje. Najmenšie číslo, ktoré môžem podľa definičného oboru vložiť do toho intervalu je nekonečne malé, ale väčšie ako nula. Všetky intervaly $\langle-t,t\rangle$ budú tento najmenší interval obsahovať, nie?

vlado_bb · 10. 10. 2020 13:31

Headclass napsal(a):
↑ vlado_bb:
Ak neexistuje nekonečne malé číslo väčšie ako nula, akým spôsobom mám zistiť prienik nekonečne veľa intervalov, ktoré sú zapísané ako $\langle-t,t\rangle$ , kde $t\in (0,\infty )$ ?

Ak dovolis, uzavrety interval budem oznacovat pre mna obvyklym sposobom, teda ako $[a,b]$ .

Prienik tvojich intervalov je mnozina $\{0\}$ . Dokaz je jasny - nula patri do kazdeho z nich a nic ine do prieniku nepatri. Ak totiz mame lubovolne $x \ne 0$ , tak toto $x$ nepatri napriklad do intervalu $\left [-\frac {|x|}{2}; \frac {|x|}{2}\right ]$ .

Headclass napsal(a):
Alebo sa skôr spýtam toto: Je pravda, že $\langle-\varepsilon ,\varepsilon \rangle = \{0\}$ , kde epsilon je definovaný v mojom prvom príspevku? Ak je toto pravda, budem ten príklad vedieť vyriešiť.

Vo svojom prispevku si symbolom $\varepsilon$ oznacil nulu. Ak pripustame aj jednoprvkove intervaly, tak ano, $[0,0]=\{0\}$ .

Headclass napsal(a):
Ak nie, aké je najmenšie t, ktoré viem vložiť do intervalu $\langle-t,t\rangle$ ? Nie je to nula, keďže definičný obor nulu neobsahuje. Najmenšie číslo, ktoré môžem podľa definičného oboru vložiť do toho intervalu je nekonečne malé, ale väčšie ako nula. Všetky intervaly $\langle-t,t\rangle$ budú tento najmenší interval obsahovať, nie?

Najmensie cislo v intervale $[-t,t]$ je $-t$ .

Headclass · 10. 10. 2020 14:02

↑ vlado_bb:

Ďakujem za odpoveď, vážim si váš čas a vďaka tejto odpovedi som pochopil už všetkému.

Matematické Fórum

#1 09. 10. 2020 23:40 — Editoval Headclass (09. 10. 2020 23:59)

Premena intervalov

#2 09. 10. 2020 23:57

Re: Premena intervalov

#3 09. 10. 2020 23:58

Re: Premena intervalov

#4 10. 10. 2020 06:55

Re: Premena intervalov

#5 10. 10. 2020 12:45

Re: Premena intervalov

#6 10. 10. 2020 13:31

Re: Premena intervalov

Headclass napsal(a):

Headclass napsal(a):

Headclass napsal(a):

#7 10. 10. 2020 14:02

Re: Premena intervalov

Zápatí