Matematické Fórum

2M70 · 11. 10. 2020 20:52

Mám zadáno:

Ukažte, že libovolná dvakrát derivovatelná funkce $\Psi$ argumentu $(t+\frac{x}{v})$ je řešením vlnové rovnice
$\frac{\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial ^{2}\Psi }{\partial t^{2}}$

Můj postup:

$\frac{\partial }{\partial x}(t+\frac{x}{v})=\frac{1}{v}$
$\frac{\partial ^{2}}{\partial x^{2}}(t+\frac{x}{v})=\frac{\partial }{\partial x}(\frac{1}{v})=0$

$\frac{\partial }{\partial t}(t+\frac{x}{v})=1$
$\frac{\partial ^{2}}{\partial t^{2}}(t+\frac{x}{v})=\frac{\partial }{\partial t}(1)=0$

$\frac{1}{v^{2}}\cdot 0=0$

Rovnost sice vychází, ale zcela triviálně. Určitě to není správné řešení. Asi by to chtělo derivovat nějak jako složenou funkci, ale moc nevím, jak.

Díky za jakoukoli radu, pomoc.

Jj · 11. 10. 2020 22:00 — Editoval Jj (11. 10. 2020 23:23)

↑ 2M70:

Hezký den.

Pokud to správně chápu, tak vy pracujete s funkcí

$\Psi(x,t) = $t+\frac{x}{v}$$ .

Řekl bych, že má jít o funkci $\Psi(x,t) = \Psi $t+\frac{x}{v}$$ .

Edit: Upraveno kolegou ↑ laszky:.

laszky · 11. 10. 2020 23:02

↑ Jj:

Ahoj, myslim, ze funkce $\Psi$ neni funkce dvou promennych, ale jedne...
Napr. $\Psi(z)=\sin(z)$ , nebo $\Psi(z)=\mathrm{e}^z$ .
S jeji pomoci pak lze definovat funkci dvou promennych, ktera je resenim vlnove rovnice:

$f(x,t) = \Psi\left(t+\frac{x}{v}\right).$

MichalAld · 11. 10. 2020 23:16

Jen jsem myslel, že bývá zvykem to $z$ používat, když jde o komplexní čísla, tedy

$\Psi(z)=\Psi(x+iy)$

A to by zrovna nebyl tenhle případ, taková funkce je řešením Laplaceovy rovnice.

Ale předpokládám, že tady to $z$ má být jen reálné číslo.

Jj · 11. 10. 2020 23:20

↑ laszky:

Taky zdravím a díky :-). No, nějak mi to taky zrovna nesedělo, ...

jarrro · 12. 10. 2020 13:29

$\frac{\partial \Psi{$t+\frac{x}{v}$}}{\partial t}=\Psi^{\prime}{$t+\frac{x}{v}$}\nl\frac{\partial\Psi{$t+\frac{x}{v}$}}{\partial x}=\frac{1}{v}\Psi^{\prime}{$t+\frac{x}{v}$}$

2M70 · 12. 10. 2020 15:29

↑ jarrro:

Má tedy být

$\frac{\partial ^{2}\Psi }{\partial t^{2}}=\Psi ''(t+\frac{x}{v})$

a

$\frac{\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\Psi ''(t+\frac{x}{v})$

?

To už vypadá dobře.

jarrro · 13. 10. 2020 05:18

↑ 2M70:áno

2M70 · 13. 10. 2020 11:11

↑ jarrro:

Díky moc za pomoc!

Matematické Fórum

#1 11. 10. 2020 20:52

Dvakrát derivovatelná funkce řešící vlnovou rovnici

#2 11. 10. 2020 22:00 — Editoval Jj (11. 10. 2020 23:23)

Re: Dvakrát derivovatelná funkce řešící vlnovou rovnici

#3 11. 10. 2020 23:02

Re: Dvakrát derivovatelná funkce řešící vlnovou rovnici

#4 11. 10. 2020 23:16

Re: Dvakrát derivovatelná funkce řešící vlnovou rovnici

#5 11. 10. 2020 23:20

Re: Dvakrát derivovatelná funkce řešící vlnovou rovnici

#6 12. 10. 2020 13:29

Re: Dvakrát derivovatelná funkce řešící vlnovou rovnici

#7 12. 10. 2020 15:29

Re: Dvakrát derivovatelná funkce řešící vlnovou rovnici

#8 13. 10. 2020 05:18

Re: Dvakrát derivovatelná funkce řešící vlnovou rovnici

#9 13. 10. 2020 11:11

Re: Dvakrát derivovatelná funkce řešící vlnovou rovnici

Zápatí