Matematické Fórum

byk7 · 13. 10. 2020 13:56

Zdravím, je možné, aby pro nějakou funkci $f:\mathbb R^n\to\mathbb R$ existovala derivace $f_{xy},$ ale nikoliv $f_{yx}$ ? Zkoušel jsem si trochu hrát s Dirichletovou funkcí, ale k příkladu jsem nedospěl.

Ferdish · 13. 10. 2020 15:24

Má daná funkcia spĺňať túto vlastnosť na celom $D(f')$ , alebo stačí iba v nejakom konkrétnom bode?

byk7 · 13. 10. 2020 15:38

Konkrétní bod postačí.

Ferdish

Čo tak funkcia $f(x,y)=\sqrt[3]{x^{3}-y^{3}}$ v bode $[0;0]\in D(f')$ ?

byk7 · 13. 10. 2020 16:12

Mám pocit, že neexistuje ani jedna z těch smíšených, nebo se pletu?

Ferdish · 13. 10. 2020 16:25

No, ak počítam správne, tak derivácia podľa x vychádza ako

$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{3x^{2}}{(x^{3}-y^{3})^{\frac{2}{3}}}$

a pri následnej derivácii podľa y ide člen $3x^{2}$ pred deriváciu čoby konštanta a zvyšok $\frac{1}{(x^{3}-y^{3})^{\frac{2}{3}}}$ podľa mňa derivovateľný podľa y je.

byk7 · 13. 10. 2020 16:36

To sice ano, ale ani do jedné ze smíšených derivací potom nemůžu dosadit $x=y=0$ .

Ferdish · 13. 10. 2020 16:47

↑ byk7:
Čo tak to vyšetrovať cez limity?

byk7 · 13. 10. 2020 16:59

No dobře, $\partial_{xy}f(0,0)=0$ , ale úplně stejně vyjde i $\partial_{yx}f(0,0)$ , ne?

MichalAld

Co třeba jednotkový skok (Heavisideova funkce):

$f(x,y)=H_1(x)$

Podle x to (v bodě x=0) zderivovat nejde. Podle y ano, je to prostě nula, a pak už to jde i podle x, zase nula.

A předpokládám, že když k tomu přičteme jakoukoliv spojitou funkci dvou proměnných, dopadne to úplně stejně.

byk7 · 13. 10. 2020 21:00

Tak v nule to má sice nevlastní derivaci, ale to mi asi nevadí, protože z toho další už nevyrobím, že?

Ferdish · 13. 10. 2020 21:00

↑ MichalAld:
No, neviem - ak v predpise funkcie od dvoch premenných vystupuje iba jedna z nich, pričom tá druhá sa tam nevyskytuje ani implicitne, možno ju vôbec považovať za funkciu dvoch premenných?

byk7 · 13. 10. 2020 21:03

↑ Ferdish: V tom problém nevidím.

MichalAld · 13. 10. 2020 21:06

↑ Ferdish:

Jistě, dokonce i když se tam nevyskytuje ani jedna proměnná, může to být funkce dvou proměnných (konstantní funkce ... ale pořád je to rovina, a né číslo).

Funkce dvou proměnných je předpis, který každému páru čísel [x,y] přiřadí nějaké číslo. Na detailech přece nezáleží.

Navíc, jak jsem zmínil, ta funkce skoku je tam kvůli té nespojitosti, můžeme k ní přičíst nějakou normální spojitou funkci dvou proměnných ... nespojitost tam zůstane a nepůjde to derivovat podle x, a přitom už to bude "skutečná" funkce dvou proměnných...

vanok · 14. 10. 2020 06:32

Pozdravujem ↑ byk7:,
Pozri sem https://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry_ … erivatives .
To by ti mohlo pomoct.

krakonoš

↑ byk7:
A co třeba
$xy-|y|$ ?
Místo |y| lze i odečíst přímo Dirichletovu funkci proměnné y.

Matematické Fórum

#1 13. 10. 2020 13:56

Existence smíšených derivací

#2 13. 10. 2020 15:24

Re: Existence smíšených derivací

#3 13. 10. 2020 15:38

Re: Existence smíšených derivací

#4 13. 10. 2020 16:05 — Editoval Ferdish (13. 10. 2020 16:06)

Re: Existence smíšených derivací

#5 13. 10. 2020 16:12

Re: Existence smíšených derivací

#6 13. 10. 2020 16:25

Re: Existence smíšených derivací

#7 13. 10. 2020 16:36

Re: Existence smíšených derivací

#8 13. 10. 2020 16:47

Re: Existence smíšených derivací

#9 13. 10. 2020 16:59

Re: Existence smíšených derivací

#10 13. 10. 2020 20:51 — Editoval MichalAld (13. 10. 2020 20:54)

Re: Existence smíšených derivací

#11 13. 10. 2020 21:00

Re: Existence smíšených derivací

#12 13. 10. 2020 21:00

Re: Existence smíšených derivací

#13 13. 10. 2020 21:03

Re: Existence smíšených derivací

#14 13. 10. 2020 21:06

Re: Existence smíšených derivací

#15 14. 10. 2020 01:43 Příspěvek uživatele Bati byl skryt uživatelem Bati.

#16 14. 10. 2020 06:32

Re: Existence smíšených derivací

#17 14. 10. 2020 12:39 — Editoval krakonoš (14. 10. 2020 13:10)

Re: Existence smíšených derivací

Zápatí