Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Vysoká škola: úvod do studia
- » Množina bodů splňující danou vlastnost (TOTO TÉMA JE VYŘEŠENÉ)
#1 08. 10. 2020 13:18 — Editoval Johana16 (08. 10. 2020 13:43)
Množina bodů splňující danou vlastnost
Dobrý den, prosím o radu s touto úlohou:
"Je dána kružnice k(S, r) a bod A, který leží uvnitř k, S ≠ A. Určete množinu středů (množina všech X) všech kružnic, které se dotýkají k a prochází bodem A. "
Zkusila jsem si nakreslit obrázek na papír i do GeoGebry a mým předpokladem je, že se jedná o elipsu. NEvím však, jak to dokázat. Příklad bychom měli řešit skrz definici množiny bodů dané vlastnosti. Tedy nepoužívat analytický postup.
Obrázek jsem si natočila tak, že jsem měla elipsu tak, že hlavní osa je rovnoběžná s osou x (elipsa "naležato"). Z obázku jsem zjistila, že bod A leží na této hlavní ose. Pokusila jsem se nějakým způsobem zde nalézt délku hlavní osy, vedlejší osy a excentricity. Ale bohužel jsem se do tohoto postupu zamotala. Bohužel si ale ani nejsem jistá, zda postupuji správně.
Měla bych tedy dokázat: X leží na elipse -> X má hledanou vlastnost.
Prosím, poradili byste mi? Moc děkuji
Offline
- (téma jako vyřešené označil(a) Johana16)
#2 08. 10. 2020 21:22
Re: Množina bodů splňující danou vlastnost
↑ Johana16:
Hezký den.
Zkuste určit součet délek úseček SX + XA.
Pokud se tedy nemýlím.
Online
#3 09. 10. 2020 13:07 — Editoval Johana16 (09. 10. 2020 19:11)
Re: Množina bodů splňující danou vlastnost
↑ Jj:
Aha.. takže by to bylo:
|SX|+|XA|=
= r - v(X;k) + r - |SA| - v(X;k) =
= 2r - v(X;k) - (r - v(A;X) - v(X;k)) - v(X;k) =
= ...=
= r - v(X;k) + v(A;X)
což je dvojnásobná délka hlavní poloosy? Což splňuje vzorec o vzdálenosti bodu od dvou ohnisek -> Takže je to elipsa
Postupuji správně?
r - poloměr kružnice
X - libovolný bod z hledané množiny
k - kružnice
v( ; ) - vzdálenost mezi dvěma prvky
Offline
#4 10. 10. 2020 07:01 — Editoval Jj (10. 10. 2020 07:09)
Re: Množina bodů splňující danou vlastnost
↑ Johana16:
Řekl bych, že elipsa to bude, ale Vaše zdůvodnění jsem nějak 'nepobral'. Bohužel teď se sem nedají vkládat obrázky - takže podrobněji bez náčrtku:
Označím T = bod dotyku kružnic k, c(X, |XA|).
Pokud kružnice c prochází bodem A a dotýká kružnice k v bodě T, tak:
a) Kružnice k, c mají v bodě T společnou tečnu -> mají v tomto bodě také společnou normálu n = TS.
b) Střed X kružnice c leží na společné normále n obou kružnic.
c) Zřejmě platí |XA| = |XT|, takže
|SX| + |XA| = |SX| + |XT| = r
-> součet vzdáleností středu X kružnice c od bodů S, A je konstantní (= r).
d) Totéž platí pro středy X všech kružnic c splňujících zadané podmínky úlohy.
Takže geometrickým místem středů všech kružnic c je elipsa s hlavní osou 2a = r. Body S, A jsou ohniska uvedené elipsy.
Pokud se tedy nemýlím.
Online
Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Vysoká škola: úvod do studia
- » Množina bodů splňující danou vlastnost (TOTO TÉMA JE VYŘEŠENÉ)