Matematické Fórum

hcetefil

Mam radu: $\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k+\sqrt{k}}$

a je mi jasne ze diverguje, ale ako to mam dokazat?
Nutna podminka konvergence je splnena, d'alambertovo kriterium nelze pouzit.
Z toho co se ucime zustalo uz jenom srovnavaci kriterium.

Neumim dokazat ani divergenci $\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k}$ , ani konvergenci $\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^{2}}$ . Jako mam takove rady resit?

krakonoš

↑ hcetefil[/re[re]p613853:Integralni kriterium

hcetefil · 19. 10. 2020 22:58

↑ krakonoš:

Dekuji za tip. Ale derivace/integraly jsme jeste nebrali a nemeli by jsme ich pouzivat k vypoctu.

MichalAld · 19. 10. 2020 23:35

Divergenci harmonické řady (1/k) bys asi dokazovat nemusel, je to všeobecně známé...ale co si vzpomínám (už je to let) spočíval důkaz asi na následující úvaze:

Nechť Sn je součet prvních n prvků řady, a S2n je součet dalších n prvků...

Takže

$S_n = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n}$

$S_{2n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+3} + ... + \frac{1}{2n}$

Když se podíváš na ten součet S2n, je zřejmé, že je určitě větší než $S_{2n} >n \frac{1}{2n}=\frac{1}{2}$ ,
protože poslední člen je nejmenší, a ty před ním jsou větší, takže součet těch n členů bude určitě větší než n-krát ten poslední.

A nezávisí to na volbě n, dokonce i když bude n blízké nekonečnu, bude pořád S2n > 1/2.

Což je v rozporu z požadavkem na konvergenci ... totiž, že součet celého zbytku řady od n-tého členu dál se musí pro velká n blížit nule.