Matematické Fórum

↑ fariet:
Ahoj, asi bude možné vyjádřit každý člen pomocí kvadratické funkce v proměnné n, na to vzorce pak už existují.

Já to nakonec vyřešil takto:
Vypsal jsem si součet prvních n členů posloupnosti pomocí n a "střední hodnoty posloupnosti"
2*21=42
3*23=69
4*26=104
5*30=150
Rozdíl mezi jednotlivými diferencemi středních hodnot je 1+n
Jednotlivé diference středních hodnot pro n členů jsou tedy 2,3,4,5...
To lze zapsat jako 2, 2+1,2+1+1,2+1+1+1,....
Jestliže počet dvojek označíme jako x a počet jedniček jako y, tak je zde vztah
y=(x^2-x)/2
Z toho jsem vyvodil soustavu dvou rovnic, která určí součet:
(2x+1y+21)*(x+2)=13 650
y=(x^2-x)/2

člen 2x v první rovnici popisuje "počet přidaných dvojek ke střední hodnotě" tím pádem se rovná s počtem mezikroků
člen y popisuje změny v jednotlivých diferencích a konstanta 21, protože to je "startovní hodnota", když toto sečteme dostaneme danou střední hodnotu, kterou vynásobíme počtem prvků a máme součet posloupnosti.
Při hledání počtu prvků kdy nastane daný součet hledáme vlastně x, které nám řekne kolik je potřeba mezikroků, abychom dostali požadovanou střední hodnotu. K výslednému x je zapotřebí přičíst dvojku, protože otázka je na členy a ne na mezikroky, kterých je o jeden méně a začínáme sloučením dvou prvků (2*21) což je další +1.
Výsledek výše zmíněných soustav rovnic je 28, plus 2 = 30, tedy u třicátého členu posloupnosti nastane tento součet. Ověřoval jsem to a mělo by to fungovat na každou posloupnost, kde je "třetí řádek" konstantní. Omlouvám se za neformální zápisy a děkuji za Vaše reakce.