Matematické Fórum

Sikys · 20. 10. 2020 20:44

Zdravím,

potřebuji pomoc s důkazem následující nerovnicí

$n^{n+1}\gg (n+1)^{n}$ (předpokládám, že pro n>2)

pro n=3 to platí ( $3^{4}\gg 4^{3}$ )

Po indukčním kroku jsem skončil na
$n(n^{n+1})\gg (n+2)(n+2)^{n}$

vůbec nevím, jak dál.

Děkuji za rady.

david_svec

↑ Sikys:

Zdravím,

a tohle bys zvládl dokázat? $n> \Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n}$

Sikys · 21. 10. 2020 01:25

↑ david_svec:

Po indukčním kroku

$n+1> (1+\frac{1}{n+1})^{n}(1+\frac{1}{n+1})$

Ale pořád nechápu, jak udělat ten další krok (je to to samý, jako u původního příkladu). Roznásobovat je zbytečné (?), rozdělit si to na dvě nerovnice (předpoklad a zbytek) také. Potřebuji ještě trochu napovědět.
Chápu správně, že v nerovnicích se nikam nic nedosazuje (jako u rovnic, kde z předpokladu většinou dosazuješ), ale pouze se členy upravují?

Díky!

david_svec

↑ Sikys:

Využij toho, že $\Big(1+\frac{1}{n+1}\Big)^{n+1}<\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}=\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n}\cdot \Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{1}$

Když předpokládáme, že platí toto: $n> \Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n}$ , tak platí i tohle: $n\cdot\Big(1+\frac{1}{n}\Big) > \Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n}\cdot \Big(1+\frac{1}{n}\Big)$ . Využij toho.

Matematické Fórum

#1 20. 10. 2020 20:44

Matematická indukce - nerovnice

#2 20. 10. 2020 23:12 — Editoval david_svec (20. 10. 2020 23:12)

Re: Matematická indukce - nerovnice

#3 21. 10. 2020 01:25

Re: Matematická indukce - nerovnice

#4 21. 10. 2020 08:13 — Editoval david_svec (21. 10. 2020 08:20)

Re: Matematická indukce - nerovnice

Zápatí