Matematické Fórum

Headclass

Ahoj všetci,

našiel som celkom zaujímavý príklad na matematickú indukciu, keď som si ju chcel precvičiť, a nejako ho neviem vyriešiť. Tu je:
Pre $\forall n\in \mathbb{N}$ ; $n>1$ , dokažte matematickou indukciou, že:

$\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{3^{3}}+\ldots +\frac{1}{n^{3}}<\frac{1}{4}$

Toto som urobil:

Môj prvý krok bolo dosadenie najnižšej možnej hodnoty do pravej aj ľavej strany: $n=2$ :

$\text{L=}\frac{1}{2^{3}}$
$\text{, R=}\frac{1}{4}$

$\text{L}<\text{R}$

V druhom kroku som za $n$ dosadil $k$
$\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{3^{3}}+\ldots +\frac{1}{k^{3}}<\frac{1}{4}$

Ďalej urobím toto: $n=k+1$ :

$\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{3^{3}}+\ldots +\frac{1}{k^{3}}+\frac{1}{(k+1)^{3}}<\frac{1}{4}$

Vieme, že

$\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{3^{3}}+\ldots +\frac{1}{k^{3}}+\frac{1}{(k+1)^{3}}<\frac{1}{4}+\frac{1}{(k+1)^{3}}$

Náš ďalší krok je porovnanie pravých strán:
$\frac{1}{4}+\frac{1}{(k+1)^{3}}<\frac{1}{4}$

No tu narazíme na problém:

$\frac{1}{(k+1)^{3}}<0$

Ak $k>1$ , táto nerovnosť nikdy neplatí.

V dôkazoch, kde je na pravej strane konštanta, sa odporúča znížiť pravú stranu nejakou funkciou $n$ , pričom treba dávať pozor, aby pravá strana bola stále väčšia, ako tá ľavá. S trochou googlenia som zistil, že súčet mojej pôvodnej ľavej strany je približne $0.2020569031$ keď sa $n$ blíži k nekonečnu, čo je tiež hodnota $1-\zeta (3)$ , kde $\zeta$ je Riemannova Zeta funkcia. Funkcia ktorá by znížila moju pravú stranu, pričom by táto strana bola stále väčšia ako $0.2020569031$ pre hodnoty $n>1$ je, napríklad, $\frac{1}{5^{x}}$ . Strávil som hodiny hľadaním funkcie, ktorá toto robí, vrátane všetkých možných kombinácii, variácii, permutácii $\frac{1}{n^{x}}$ K tomuto som sa dopracoval:

Čo teda chcem dokázať ako ďalšie:

$\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{3^{3}}+\ldots +\frac{1}{n^{3}}<\frac{1}{4}-\frac{1}{5^{n}}$

Skúsime najnižšiu hodnotu, $n=2$ :

$\text{L=}\frac{1}{2^{3}}$
$\text{, R=}\frac{1}{4}-\frac{1}{5^{2}}$

$\text{L}<\text{P}$

Pokračujeme s $n=k$ :

$\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{3^{3}}+\ldots +\frac{1}{k^{3}}<\frac{1}{4}-\frac{1}{5^{k}}$

Ďalej $n=k+1$ :

$\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{3^{3}}+\ldots +\frac{1}{k^{3}}+\frac{1}{(k+1)^{3}}<\frac{1}{4}-\frac{1}{5^{k+1}}$

Vďaka $n=k$ vieme, že:
$\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{3^{3}}+\ldots +\frac{1}{k^{3}}+\frac{1}{(k+1)^{3}}<\frac{1}{4}-\frac{1}{5^{k}}+\frac{1}{(k+1)^{3}}$

Náš ďalší krok je teda logicky dokázať, že:

$\frac{1}{4}-\frac{1}{5^{k}}+\frac{1}{(k+1)^{3}}<\frac{1}{4}-\frac{1}{5^{k+1}}$

Toto ale nemá žiadne celočíselné riešenia väčšie ako jedna, čo ale potrebujeme. Tu som ostal zaseknutý a neviem, ako ďalej. Napadlo mi, že ľudia mi tu budú vedieť pomôcť.

Ďakujem

check_drummer · 21. 10. 2020 02:17

Ahoj, zkus odečíst $\frac{1}{k^2}$ .

Headclass · 21. 10. 2020 10:59

↑ check_drummer:
ahoj, to mi žiaľ nepomôže, lebo ak odčítam $\frac{1}{k^{2}}$ , tak sa stane toto:

$\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{3^{3}}+\ldots +\frac{1}{n^{3}}<\frac{1}{4}-\frac{1}{k^{2}}$

Pre n=2:
$\text{L=}\frac{1}{2^{3}}$
$\text{, R=}\frac{1}{4}-\frac{1}{2^{2}}$
$L>P$
čiže neplatí to ani pri najmenšom prípade.

check_drummer · 21. 10. 2020 20:21

Pro libovolná malá k nás to nezajímá. :-) Důležité je jak se to chová pro velká k, pro malá k tam můžeš odečíst libovolnou jinou funkci, pro kterou to platí, hlavně ať vyjde indukční krok, pak už se to nějak ošetří.

Headclass · 21. 10. 2020 20:31

↑ check_drummer:
Ahoj, čiže čo chcem dosiahnuť je to, že najprv dokážem platnosť prvého tvrdenia pre povedzme 2<n<=10, a potom použijem prísnejšie tvrdenie (čiže pravú stranu znížim o nejakú funkciu n) pre n>10? To je korektný postup? Lebo neviem si predstaviť, kedy je $k$ dostatočne veľké pre použitie prísnejšieho tvrdenia.

Vďaka za odpoveď

check_drummer · 22. 10. 2020 18:21

↑ Headclass:
Já taky nevím, jak to k zvolit ani nevím jestli to pro tu mají funkci zafunguje, ale korektní postup to určitě je. Pro všechna k své tvrzení dokážeš. A že pro nějaká k to bude přesně ve trvaru, který máš dokázat a pro nějaká k to bude silnější tvrzení (s odečtením té funkce na pravé straně), to je přece jedno.

Matematické Fórum

#1 20. 10. 2020 23:44 — Editoval Headclass (20. 10. 2020 23:45)

Matematická indukcia, keď na pravej strane je konštanta

#2 21. 10. 2020 02:17

Re: Matematická indukcia, keď na pravej strane je konštanta

#3 21. 10. 2020 10:59

Re: Matematická indukcia, keď na pravej strane je konštanta

#4 21. 10. 2020 20:21

Re: Matematická indukcia, keď na pravej strane je konštanta

#5 21. 10. 2020 20:31

Re: Matematická indukcia, keď na pravej strane je konštanta

#6 22. 10. 2020 18:21

Re: Matematická indukcia, keď na pravej strane je konštanta

Zápatí