Matematické Fórum

hcetefil · 20. 10. 2020 19:29

Mam zjistit zda li je konvergentni tato rada $\sum_{n = 1}^{\infty }\frac{2^n}{a^n+n}$

a pokud ano pro jake $a$ . Nevim jak zacit, naznacte mi prosim postup.

Bati · 21. 10. 2020 11:46

https://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=109159

surovec · 21. 10. 2020 12:52

↑ hcetefil:
Viděl bych to na odmocninové kritérium. Výsledek bych (bez výpočtu) tipnul |a| > 2.

hcetefil · 21. 10. 2020 20:17

↑ Bati:

Napsali jste: Protoze $k$ je asymptoticky zanedbatelne vzhledem k $2^k$ , okamzite dostavas ze nutne $|a|>2$ .

Prosim muzete vysvetlit co to znamena asymptoticky zanedbatelne? Nerozumim tomu jak dostanete $|a|>2$ .

↑ surovec:

Ale nerozumim tomu, odmocninove kriterium se da pouzit jenom kdyz jsou cleny kladne. Ale pro $a < 0$ cleny stridaji znamenka.

Bati · 22. 10. 2020 01:25

↑ hcetefil:
To znamena, ze
$\lim_{k\to\infty}\frac{k}{2^k}=0$ . (*)

Podle nutne podminky konvergence rady musi platit
$\lim_{n\to\infty}\frac{2^n}{a^n+n}=0$ ,
coz je ekvivalentni
$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(\frac{a}{2})^n+\frac{n}{2^n}}=0$ ,
a to, podle (*), je ekvivalentni s
$\lim_{n\to\infty}(\tfrac{a}{2})^n=\infty$
odkud vidime, ze $|a|>2$ .

hcetefil · 24. 10. 2020 19:39

↑ Bati:

Aha, rozumim, dekuji za vysvetleni. A muzete prosim jeste objasnit:
"Konvergence pak plyne ze srovnavaciho kriteria, protoze $2^k>k$ pro dostatecne velke $k$ . "

Bati · 24. 10. 2020 20:31 — Editoval Bati (24. 10. 2020 20:31)

↑ hcetefil:
jestlize $|a|>2$ , pak $\frac{\frac{2^n}{a^n+n}}{(\frac{2}{a})^n}=\frac{1}{1+\frac{n}{a^n}}\to1$ , takze podle lim. srovnavaciho kriteria rada konveguje prave kdyz $\sum_n(\tfrac{2}{a})^n$ konverguje

Matematické Fórum

#1 20. 10. 2020 19:29

Konvergence rady s parametrem

#2 21. 10. 2020 11:46

Re: Konvergence rady s parametrem

#3 21. 10. 2020 12:52

Re: Konvergence rady s parametrem

#4 21. 10. 2020 20:17

Re: Konvergence rady s parametrem

#5 22. 10. 2020 01:25

Re: Konvergence rady s parametrem

#6 24. 10. 2020 19:39

Re: Konvergence rady s parametrem

#7 24. 10. 2020 20:31 — Editoval Bati (24. 10. 2020 20:31)

Re: Konvergence rady s parametrem

Zápatí