Matematické Fórum

2M70 · 20. 10. 2020 17:37

Mám tu zdánlivě jednoduchou úlohu na vyšetření stejnoměrné konvergence:

$f(x)=\frac{x}{n}ln \frac{x}{n}$

Na intervalech $(0,\varepsilon ) a (\varepsilon ,\infty )$

Na prvním intervalu má posloupnost stejnoměrně konvergovat, na druhém ne.

Obvyklý způsob - začínám bodovou limitou

Zkouším různá x, používám i přepis vztahu $f(x)=\frac{ln \frac{x}{n}}{\frac{n}{x}}$

x = 1

$f=\frac{ln\frac{1}{n}}{n}=-\frac{ln n}{n}$
Limita pro $n\Rightarrow \infty$ : $\frac{ln n}{n}\Rightarrow "\frac{\infty }{\infty }"$
--> Neurčitý výraz, použiju l'Hospitalovo pravidlo,
$\lim_{n\to\infty }\frac{\frac{1}{n}}{1}=\lim_{n\to\infty }\frac{1}{n}=0$
Tedy pro x = 1 bodová limita 0.

x = 1/2
$f=\frac{ln(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n})}{\frac{1}{\frac{1}{2}}n}=\frac{ln(\frac{1}{2n})}{2n}=-\frac{ln(2n)}{2n}$

opět použiju l'Hospitalovo pravidlo,
$-\frac{ln(2n)}{2n}\Rightarrow -\frac{2\cdot (\frac{1}{2n})}{2}=-\frac{1}{2n},\lim_{n\to\infty }(-\frac{1}{2n})=0$

x = 1/3
$f=\frac{ln(\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{n})}{\frac{1}{\frac{1}{3}}n}=\frac{ln(\frac{1}{3n})}{3n}=-\frac{ln(3n)}{3n}$

opět použiju l'Hospitalovo pravidlo,
$-\frac{ln(3n)}{3n}\Rightarrow -\frac{3\cdot (\frac{1}{3n})}{3}=-\frac{1}{3n},\lim_{n\to\infty }(-\frac{1}{3n})=0$

x = 2

$f=\frac{(ln\frac{2}{n})}{\frac{1}{2}n}=-\frac{ln\frac{n}{2}}{\frac{n}{2}}\Rightarrow -\frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{n} }{\frac{1}{2}}=-\frac{2}{n}\Rightarrow 0$

x = 100

$f=\frac{(ln\frac{100}{n})}{\frac{1}{100}n}=-\frac{ln\frac{n}{100}}{\frac{n}{100}}\Rightarrow -\frac{\frac{1}{100}\cdot\frac{100}{n} }{\frac{1}{100}}=-\frac{100}{n}\Rightarrow 0$

Dostávám tedy stále bodovou limitu 0, což je podivné.

Spočtu 1.derivaci:
$f'=(\frac{x}{n}ln\frac{x}{n})'=\frac{1}{n}ln\frac{x}{n}+\frac{x}{n}\cdot \frac{1}{\frac{x}{n}}\cdot \frac{1}{n}$
= $f'=\frac{1}{n}ln\frac{x}{n}+\frac{1}{n}=\frac{1}{n}\cdot (ln\frac{x}{n}+1)=0$
$\frac{1}{n}\cdot (ln\frac{x}{n}+1)=0$
$(ln\frac{x}{n}+1)=0$
$ln\frac{x}{n}=-1$
$ln\frac{x}{n}=ln(e^{-1})=ln(\frac{1}{e})$
$\frac{x}{n}=\frac{1}{e}$
$x=\frac{n}{e}$

Dosadím do původního předpisu

$\frac{\frac{n}{e}}{\frac{n}{1}}\cdot ln \frac{\frac{n}{e}}{\frac{n}{1}}=\frac{1}{e}ln\frac{1}{e}=\frac{1}{e}\cdot ln(e^{-1})=-\frac{1}{e}$

Tedy v bodě extrému $x=\frac{n}{e}$ má být funkční hodnota $-\frac{1}{e}$

Což je ale ve sporu s tím, že všechny bodové limity vycházely = 0.

Přemýšlím tedy, jak si to vysvětlit, a také co dosadit do vzorce pro stejnoměrnou konvergenci, tedy

$\sigma _{n}=sup(f_{n}(x)-f(x))$ .

Budu rád za jakoukoli radu, pomoc.

Díky

Bati · 22. 10. 2020 01:17

↑ 2M70:
Na bodove limite 0 neni nic podivneho. Plati $\lim_{y\to0}y\ln y=0$ (napr. L'Hospitalem) a dosadis $\frac{x}{n}$ . Pri pocitani bodove limity je $x>0$ jen nejaka konstanta, je blbost to pocitat pro kazdou zvlast.

Ke stejnomerne konvergenci tedy potrebujes $\sup_{x\in I}|\frac{x}{n}\ln\frac{x}{n}|\to0$ , $n\to\infty$ , chybi ti tam absolutni hodnota! (meris vlastne chybu). Protoze ale $y\ln y\to\infty$ , kdyz $y\to\infty$ , stejnomerna konvergence na intervalech $(\varepsilon,\infty)$ je vyloucena (vezmi napr. posloupnost bodu $x_n=n^2$ ). Zbyva tedy dokazat st. kon. na $(0,\varepsilon)$ .

Extrem mas spocteny spravne, ale uvedom si, ze pro dostatecne velke $n$ ten extrem "odjede doprava" mimo interval $(0,\varepsilon)$ . Takze se staci podivat na hodnoty v krajnich bodech intervalu. Uz vime, ze v 0 je limita nula, takze
$\sup_{x\in(0,\varepsilon)}|\frac{x}{n}\ln\frac{x}{n}|=-\frac{\varepsilon}{n}\ln\frac{\varepsilon}{n}$ ,
coz ma opet limitu 0.

2M70 · 22. 10. 2020 13:18

↑ Bati:

Ahoj, díky moc za cenný příspěvek!!! Posunul mě o notný kus kupředu !!! Už jsem myslel, že nikdo neodpoví! Zkusím to pořádně propočítat.

Ještě mě napadá: logaritmus jde k nekonečnu pomaleji než lineární funkce. Tak jeslti by šlo nahradit
$ln\frac{x}{n}\sim \frac{x}{n}$

Ještě jednou díky!

Bati · 22. 10. 2020 14:02

$ln\frac{x}{n}\sim \frac{x}{n}$ plati jen kdyz $\frac{x}{n}\sim1$ , tj. $x\sim n$ , takze to ti asi k nicemu nebude.

Je pravda, ze logaritmus ''je pomalejsi'' dokonce nez libovolna mocnina: $\lim_{z\to\infty}z^{-\alpha}\ln z=0$ , $\alpha>0$ . Ale to je presne ta limita $\lim_{y\to0_+}y\ln y$ , jen zakuklena pomoci substituce $y=z^{-\alpha}$ .

2M70 · 22. 10. 2020 16:37

↑ Bati:

Je korektní, napsat v řešení limity výraz, kde x/n nahrazuji ypsilonem? Jde o tu "substituovanou" limitu
$\lim_{y\to0}y\ln y=0$ , do které pak "dosazuji" y = $\frac{x}{n}$

Omlouvám se za chybějící absolutní hodnotu - moje chyba.

Souhlasím, že pro stejnoměrnou konvergenci potřebuji
$\sup_{x\in I}|\frac{x}{n}\ln\frac{x}{n}|\to0$ když $n\to\infty$ ,

ale určitě mi neprojde napsat opět "substituci"
$y\ln y\to\infty$ když $y\to\infty$

Taky mám pocit, že bod $x=\frac{n}{e}$ s funkční hodnotou je $-\frac{1}{e}$ je globální minimum, a že funkce je klesající od x = 0 do $x=\frac{n}{e}$ a rostoucí od $x=\frac{n}{e}$ do nekonečna.
Funkce je tedy klesající od x = 0 do $x=\frac{n}{e}$ , v 0 je tedy (lokální?) maximum, které by se mělo dosadit za x, ale ve vztahu $\frac{x}{n}ln\frac{x}{n}$ nemůžu za "x" dosadit nulu.

Jak jsi přišel na posloupnost bodů $x_n=n^2$ ?

V každém případě děkuji za cennou pomoc!

Bati · 22. 10. 2020 18:05 — Editoval Bati (22. 10. 2020 18:11)

2M70 napsal(a):
↑ Bati:

Je korektní, napsat v řešení limity výraz, kde x/n nahrazuji ypsilonem? Jde o tu "substituovanou" limitu
$\lim_{y\to0}y\ln y=0$ , do které pak "dosazuji" y = $\frac{x}{n}$

Oficialne bys mel postupovat pdole vety o limite slozene funkce. Tady to je ale trivialni, ta substituce je linearni a limitni bod je nula. A hlavne, x>0 je v tuto chvili jen konstanta!

Stejnomernou konvergenci nemuzes resit pomoci substituce obsahujici x a n zaroven, tim bys vybral jen nejakou "diagonalu". $x_n$ jsem zvolil tak, aby $\frac{x_n}{n}\ln\frac{x_n}{n}$ divergovalo. V $\frac{n}{e}$ je sice minimum, ale tebe nezajima maximum, ale maximalni odchylka od nuly! To je zase ta absolutni hodnota. Nejvetsi odchylka od nuly je v tom extremu, ktery je mimo, takze logicky je to hodnota v pravem krajnim bode intervalu (kvuli monotonii).

PS: Dopurucil bych ti si udelat nejakou jasnou vizualni predstavu o tom, co to znamena stejnomerne konvergovat a taky jak to zapsat pomoci kvatifikatoru. I kdyz se to zezacatku nezda, tak je to celkem intuitivni a bude se ti to pak resit mnohem snaz..

2M70 · 22. 10. 2020 18:39

↑ Bati:

"Stejnoměrně konvergovat" nám bylo vysvětleno pomocí "epsilonového pásu", ze kterého stejnoměrně konvergující posloupnost funkcí nevybočí.

U zápisu pomocí kvantifikátorů nám bylo zdůrazněno, že bodová a stejnoměrná konvergence se liší "prohozením" pořadí kvantifikátorů - že bodová limita závisí na epsilon i na x, kdežto stejnoměrná jen na epsilon.

Svůj dosavadní postup bych shrnul asi takto:

1) Určení bodové limity pro různá „libovolná, ale pevná x“ – osvědčilo se mi volit body 0, 1, -1, alespoň 2 hodnoty pro 0 < |x| < 1 a alespoň 2 hodnoty pro |x| > 1 – když pak pošlu hodnotu „n“ do nekonečna, získávám bodové limity a daří se vysledovat obecný trend

Bodovou limitu označuji f(x).

2) Vyšetřovaná funkce – určit průběh funkce – spočítám první derivaci funkce podle x, které nyní beru jako proměnnou (a naopak „nehýbu“ s „n“) a položím rovnu nule. Získám tak extrémy (resp. body podezřelé z extrému) a intervaly, kdy je funkce rostoucí/klesající. Z extrému(ů) beru pro další výpočet maximum/maxima. (správně vlastně suprema)

3) do funkčního předpisu f,n (x) dosadím hodnotu x = … získanou z nulové první derivace. Dosazením získávám hodnotu f,n (x)

4) Dám do absolutní hodnoty rozdíl hodnot f,n(x) a f(x) (rozdíl hodnoty funkce v maximu a hodnoty bodové limity)

5) Spočítám limitu n-> (nekonečno) absolutní hodnoty rozdílu. Pokud je limita nulová, je konvergence na intervalu stejnoměrná, pokud není nulová, není stejnoměrná, ale může být lokálně stejnoměrná, když levý nebo pravý bod intervalu nahradím hodnotou např..delta a pro tuto hodnotu již získávám (podle bodu 4) stejnoměrnou konvergenci. Když pak zapíšu interval otevřený v bodě, který „zlobil“, máme interval lokálně stejnoměrné konvergence.

*
Což má ale asi do ideálního postupu dost daleko :-(

Bati · 22. 10. 2020 19:22

1) ok, ale obecne bych se na to nespolehal.
2) NE
3) NE
4) Ano, tim ziskas funkci $g_n(x)=|f(x)-f_n(x)|$
5) Nyni muzes zkusit najit supremum $g_n(x)$ v danem intervalu. To muze jit udelat mnoha zpusoby, jednim z nich je vysetreni prubehu $g_n(x)$ (ale ne $f_n(x)$ !). Pokud je to moc tezky, je potreba to chytre odhadnout.
6) Spocist limitu suprema, nebo nejakeho odhadu

2M70 · 22. 10. 2020 20:30

↑ Bati:

Teď jsem se na to díval a máš pravdu, dělá se opravdu derivace $g_n(x)$ a ne $f_n(x)$ . Zmátlo mě, že dost příkladů, co jsme počítali, mělo bodovou limitu 0, čímž ty funkce "splynuly", nebo nenulová bodová limita hned zmizela při derivování, a nebylo to tedy patrné.

Překvapuje mě ale, že jsme určitě do absolutní hodnoty dosazovali funkční hodnotu v bodě extrému a od ní odečítali tu bodovou limitu. I jsem se na to díval. Tak teď nevím, na čem jsem.

2M70 · 22. 10. 2020 20:35

↑ Bati:

Mohl bys se mi, prosím, ještě podívat na tuhle posloupnost funkcí v sousední debatě?

https://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=109186

Díky!

Matematické Fórum

#1 20. 10. 2020 17:37

Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí f(x) = x/n . ln x/n

#2 22. 10. 2020 01:17

Re: Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí f(x) = x/n . ln x/n

#3 22. 10. 2020 13:18

Re: Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí f(x) = x/n . ln x/n

#4 22. 10. 2020 14:02

Re: Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí f(x) = x/n . ln x/n

#5 22. 10. 2020 16:37

Re: Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí f(x) = x/n . ln x/n

#6 22. 10. 2020 18:05 — Editoval Bati (22. 10. 2020 18:11)

Re: Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí f(x) = x/n . ln x/n

2M70 napsal(a):

#7 22. 10. 2020 18:39

Re: Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí f(x) = x/n . ln x/n

#8 22. 10. 2020 19:22

Re: Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí f(x) = x/n . ln x/n

#9 22. 10. 2020 20:30

Re: Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí f(x) = x/n . ln x/n

#10 22. 10. 2020 20:35

Re: Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí f(x) = x/n . ln x/n

#11 22. 10. 2020 21:14 Příspěvek uživatele krakonoš byl skryt uživatelem krakonoš.

Zápatí