Matematické Fórum

Coram.Judice

Dobrý den všem,
Mám dotaz ohledně řešení diferenciální rovnice. Na zkoušce jsem dostal takovéto zadání: $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=y'-y%3Dx-1$
Pokud by mi někdo byl schopen poradit, jak na to, tak bych byl moc vděčný.

MMMartin · 10. 06. 2009 16:20

Zkus napřed řešit rovnici bez pravé strany a pak použít metodu variace konstanty.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Rumburak · 10. 06. 2009 16:21

1) vyřešíme nejprve rovnici
(1) $y' - y = 0$ .
Hledáme její řešení ve tvaru $y = \text{e}^{\lambda x}$ . Dosazením do (1) máme $\lambda \text{e}^{\lambda x} - \text{e}^{\lambda x} = 0$ , z čehož $\lambda =1$ .
Obecné řešení rce (1) má tvar

(2) $y = A\text{e}^{x}$ , kde A je volitelné konstanta konstanta.

2) Řešení rovnice
(3) $y' - y = x - 1$
hledáme ve tvaru $y = A(x)\text{e}^{x}$ , tj. konstantu A v (2) nahradíme funkcí "A(x)". (Proto se tato metoda nazývá metodou variace konstanty.)
Dosazením do (3) obdržíme
$A'\text{e}^{x} + A\text{e}^{x} - A\text{e}^{x} = x - 1$ ,
$A'\text{e}^{x} = x - 1$ ,
$A'= (x - 1)\text{e}^{-x}$ .
$A(x)= \int (x - 1)\text{e}^{-x} \text{d} x$ .
Obecné řešení rovnice (3) pak je $y = [A(x) + C]\text{e}^{x}$ , kde C je integrační konstanta.

Coram.Judice · 10. 06. 2009 20:46

Děkuji vám oběma

Ginco · 10. 06. 2009 21:13

ahoj, jen bych se chtěl zeptat, jak bych tuto rovnici mohl vyřešit separací proměnných?

děkuji

MMMartin · 10. 06. 2009 21:43

↑ Ginco:
Rovnice (s pravou stranou) by separací proměnných řešit nešla, protože není separovatelná.
(DR se separovatelnými proměnnými je tvaru $P_1(x)P_2(y) + Q_1(x)Q_2(y) y' = 0$ , kde P1, P2, Q1, Q2 jsou funkce spojité na příslušných intervalech.)

Ginco · 10. 06. 2009 21:58

Ok ještě mám jeden malejn dotaz

mám nějakou libovolnou diferenciální rovnici, kde vím, že $y=y(x)$

a substitucí ji převedu na $u=\frac{y}{x}$ ...všechno v pohodě, ale

pak řeším konstantní řešení... takže za u dosadím třebaK

a teď mi vyjde nějaké konstantní řešení, např K = 1

jak ale zjistím konstantní řešení původní rovnice, nebo spíš jinak : proč se zjišťuje konstantní řešení v tom tvaru v substituci? děkuji

kaja(z_hajovny) · 11. 06. 2009 07:54

zmatena otazka,pokusimse odpovedet:
konstantni reseni se zjistuji pred separaci, protoze pokud
y'=f(x)*g(y)
a g(y) frkneme do jmenovatele, tak bychom o nejeka reseni prisli.

pokud je u=y/x a u je konstanta, tak y uz konstanta nebude

Matematické Fórum

#1 10. 06. 2009 15:51 — Editoval Coram.Judice (10. 06. 2009 15:54)

Diferenciální rovnice

#2 10. 06. 2009 16:20

Re: Diferenciální rovnice

#3 10. 06. 2009 16:21

Re: Diferenciální rovnice

#4 10. 06. 2009 20:46

Re: Diferenciální rovnice

#5 10. 06. 2009 21:13

Re: Diferenciální rovnice

#6 10. 06. 2009 21:43

Re: Diferenciální rovnice

#7 10. 06. 2009 21:58

Re: Diferenciální rovnice

#8 11. 06. 2009 07:54

Re: Diferenciální rovnice

Zápatí