Matematické Fórum

retlif · 24. 10. 2020 11:22

Dobry den,

urcila jsem rotaci vektorového pole
$\mathbf{F}=\left(\displaystyle\frac{-y}{x^2 + y^2},\,\displaystyle\frac{x}{x^2 + y^2},\,0\right)$
jako
$\mathrm{rot}\,\mathbf{F} = \left(0,\,0,\,\displaystyle\frac{-x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2}-\frac{-x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2}\right)$ .

Je celkem zrejme, ze je rotace skoro vsude nulova, kdyz jsem ale chtela spocitat hodnotu v $0$ , kde bych cekala, ze bude nenulová a dokonce ze prislusna limita bude divergovat, narazila jsem a nedokazu ji urcit.

Kdybych presla do polarniho tvaru $(x^2+y^2)^2 = r^4$ dostavam vztahy, ze kterych si nedokazu vysvetlit ze limita existuje.

Vim ze je to asi trivialni zalezitost, ale mohl by mi prosim nekdo ukazat jak takovou limitu co nejvic ekonomicky resit?

Bati · 24. 10. 2020 12:59 — Editoval Bati (24. 10. 2020 13:07)

↑ retlif:

Samotna funkce F ma v nule celkem vyznamnou singularitu, ktera se aplikaci rot jeste zesili, takze pochybuju, ze prislusna limita bude existovat.

Jeste existuje ponekud obecnejsi definice rotace, viz prvni vzorec v
https://en.wikipedia.org/wiki/Curl_(mathematics)
Kdyz vezmes za krivky kruznice, mozna by mohlo neco vyjit.

MichalAld

Pokud je cirkuace té funkce (křivkový integrál) nenulový pro každou křivku, která bod 0 obkružuje, a rotace té funkce je všude nulová, potom bude v tom bodě nula něco jako Diracova funkce.

Není to ovšem "obyčejná funkce", krom toho, že v bodě nula má nespojitost - nekonečnou velikost - tak integrál přes tuhle funkci dává jedničku (nebo obecně nějakou hodnotu). To "normální funkce" nedokáže, nějaké nespojitosti v jednom bodě nemají na hodnotu jejího integrálu vliv.

Ale jinak si to můžeš představit jako velmi úzký a velmi vysoký "impulz" (nevím, jestli se tohle slovo v matematicke používá) - s tím, že jeho plocha (objem, atd) zůstává stále jednotkový.

MichalAld · 24. 10. 2020 16:07

V klasickém smyslu samozřejmě rotace této funkce v počátku neexistuje.

retlif · 24. 10. 2020 16:15

↑ MichalAld:Diky, Diracoovy delta distribuce pravidelne pouzivame v teorii signalu a linearnich systemu. Tohle pole by melo popisovat (az na skalovani) virove pole intenzity $\mathbf{H}$ od nekonecne dlouheho a nekonecne tenkeho vodice (tedy protekaneho nekonecnou proudovou hustotou $\mathbf{j}$ ). Ve smyslu Ameprova zakona jsem chtela tou limitou dostat proudovou hustotu $\mathbf{j}$ s nekonecnou velikosti.

Bati · 24. 10. 2020 20:23

↑ MichalAld:
v matematice se pouziva slovo distribuce, ale Diracovo delta taky zname

MichalAld · 25. 10. 2020 00:13

↑ retlif:

Jo, říkal jsem si, že by to mohlo být magnetické pole kolem vodiče. A ano, pokud bude vodič nekonečně tenký, tak tam ta rotace v klasickém smyslu neexistuje a je tam singularita.

A singularity jsou zrádné ... v gravitačním poli takhle z jedné singularity a ničeho kolem vznikne černá díra...

U magnetického pole nás to nemusí moc trápit, protože nekonečně tenký vodič je jen představa, co nám zjednodušuje život ... v reálu je vždy konečné velikosti.

Zase je tam legrační problém, když vodič protékaný proudem zabírá celý prostor....protože pak zjistíme, že takové magnetické pole, jež by proud tekoucí celým prostorem vytvářel, nedokážeme zkonstruovat...

A dají se vymyslet i jednodušší případy proudů, které mag. pole nevytvářejí. Za mag. pole může z velké části to, že vodič má svoji hranici...

MichalAld · 25. 10. 2020 00:14

↑ Bati:
Já vím, ale jak nazýváte funkci, která není Diracovo delta, jen se mu velmi podobá ?

Bati · 25. 10. 2020 00:41

↑ MichalAld:
Aproximativni jednotka (approximate one). Jednotka proto, ze v limite se to chova jako jednotkovy element vzhledem ke konvoluci. V analyze jsem ale tohle nazvoslovi moc pouzivat nevidel - byva lepsi vzit explicitne $k^d\phi(kx)$ , kde $\phi$ je libovolna hladka s kompaktnim nosicem a jednotkovym integralem (tj. zhlazovaci jadro).

Matematické Fórum

#1 24. 10. 2020 11:22

rotace vektorového pole v pocatku

#2 24. 10. 2020 12:59 — Editoval Bati (24. 10. 2020 13:07)

Re: rotace vektorového pole v pocatku

#3 24. 10. 2020 16:02 — Editoval MichalAld (24. 10. 2020 16:07)

Re: rotace vektorového pole v pocatku

#4 24. 10. 2020 16:07

Re: rotace vektorového pole v pocatku

#5 24. 10. 2020 16:15

Re: rotace vektorového pole v pocatku

#6 24. 10. 2020 20:23

Re: rotace vektorového pole v pocatku

#7 25. 10. 2020 00:13

Re: rotace vektorového pole v pocatku

#8 25. 10. 2020 00:14

Re: rotace vektorového pole v pocatku

#9 25. 10. 2020 00:41

Re: rotace vektorového pole v pocatku

Zápatí