Matematické Fórum

Gauß69 · 25. 10. 2020 01:38

Nech $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ je spojita, diferencovatelna a rovnomerne konvexna funkcia s konstantou rovnomernosti $\mu > 0\$ , teda $f(\lambda x+(1-\lambda )y)+\mu \lambda (1-\lambda )\|x-y\|^2\leq\lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)\ \ \ \forall \lambda \in (0,1),\ \forall x,y\in\mathbb{R}^n.$ Dalej nech $\nabla f$ je globalne Lipschitzovsky spojita s Lipsicovou konstantou $L>0$ , a nech $0<\gamma <\frac{4\mu }{L^2}$ .

Chcel by som dokazat, ze existuje kontrakcia pre funkciu $g(x)=x-\gamma \nabla f(x)$ . To znamena, ze $\exists k\in[0,1): \ \|g(x)-g(y)\|\leq k\|x-y\|\ \ \ \forall x,y\in\mathbb{R}^n$ .

Skusal som zacat s Cauchy-Schwarzovou nerovnostou a vyuzitim vlastnosti rovnomerne konvexnej funkcie a lipschitzovej spojitosti, ale vzdy ma to doviedlo len k $\|g(x)-g(y)\|\leq \left( \frac{L^2\gamma}{2\mu}+1 \right)\|x-y\|$ , co nie je ziadna kontrakcia. Je samozrejme mozne, ze sa to ani dokazat neda a existuje nejaky protipriklad.

Ma niekto prosim napad, ako to bud dokazat alebo ako vymysliet protipriklad?

Bati · 25. 10. 2020 11:30

Cauchy-Schwarzem tady ztratis, protoze rovnomerna konvexita je hodne silny predpoklad, ktery je potreba pouzit. Melo by implikovat neco ve stylu
$(\nabla f(x)-\nabla f(y))\cdot(x-y)\geq2\mu\|x-y\|^2$ , (*)
tj., ze gradient je rovnomerne rostouci, ale radsi si to prepocitej. Pak bych normalne rozepsal
$\|g(x)-g(y)\|^2=\|x-y\|^2-2\gamma(x-y)\cdot(\nabla f(x)-\nabla f(y))+\gamma^2\|\nabla f(x)-\nabla f(y)\|^2$ ,
na druhy clen pouzil (*), na posledni Lipschitzovksost a melo by to s tou podminkou na $\gamma$ vyjit...

Gauß69 · 25. 10. 2020 11:44

↑ Bati:

Dakujem velmi pekne!

S rastucim gradientom som narabal, ale vobec ma nenapadlo to umocnit a potom si to tak rozpisat.

Matematické Fórum

#1 25. 10. 2020 01:38

Kontrakcia

#2 25. 10. 2020 11:30

Re: Kontrakcia

#3 25. 10. 2020 11:44

Re: Kontrakcia

Zápatí