Matematické Fórum

2M70 · 27. 10. 2020 15:40

Zdravím, mám vyšetřit (bodovou, stejnoměrnou) konvergenci řady funkcí

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{x^{2n}}{n+x^{2}}\cdot cos(nx)\cdot arctg(nx)$
na intervalu [-1,1]

Můj pokus o řešení:

sin (cokoli) $\le 1$
arctg (cokoli) $\le \frac{\pi }{2}$
tedy omezené shora, 1 * pi/2 = pi/2 = "nejhorší možný" horní odhad.

"zbývá" $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{x^{2n}}{n+x^{2}}$

Nutná, nikoli postačující, podmínka stejnoměrné konvergence řady,
$\sum_{}^{}f_{n}$ konverguje stejnoměrně $\Leftrightarrow$ konverguje stejnoměrně posloupnost částečných součtů

$f_{n}(x)=\frac{x^{2n}}{n+x^{2}}$

Jsme na intervalu [-1, 1].

Bodová konvergence
x = 0, $\frac{x^{2n}}{n+x^{2}}=0$
|x| < 1: $\lim_{n\to\infty }\frac{x^{2n}}{n+x^{2}}=\frac{0}{\infty }=0$
x = 1: $\lim_{n\to\infty }\frac{x^{2n}}{n+x^{2}}=\lim_{n\to\infty }\frac{1}{n+1}=0$
x = (-1): $\lim_{n\to\infty }\frac{((-1)^{2})^{n}}{n+x^{2}}=\lim_{n\to\infty }\frac{1}{n+1}=0$

Celkově bodová limita = 0

Stejnoměrná konvergence

Jsme-li na intervalu (-1, 1), tedy |x| < 1, pak

$|fn(x)-f(x)|=|fn(x)-0|=|fn(x)|$

Uvažujme čitatel předpisu funkce:
$\lim_{n\to\infty }x^{2n}=0$ (zdůrazňuji, že jsem na intervalu (-1,1)

a tedy

$\lim_{n\to\infty }\frac{x^{2n}}{n+x^{2}}=\frac{0}{\infty }=0$

x = 1 ... výraz $\frac{x^{2n}}{n+x^{2}}$ lze shora odhadnout:
$\frac{x^{2n}}{n+x^{2}}\Rightarrow \frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}$
a $\lim_{n\to\infty }\frac{1}{n}=0$

x = (-1)...v předpisu funkce je "x" v druhé mocnině, tedy jako pro x=1
a
$\lim_{n\to\infty }|f_{n}(x)-0|=\lim_{n\to\infty }\frac{x^{2n}}{n+x^{2}}\Rightarrow \lim_{n\to\infty }\frac{1}{n}=0$

Konvergence je stejnoměrná, nutná podmínka stejnoměrné konvergence řady funkcí je splněna.

Moc mě ale nenapadá, jak pokračovat.

Napadá mě Weierstrass:

Označme $\{\vartheta _{k}\}$ posloupnost funkcí, $\{w_{k}\}$ posloupnost funkcí, která je majorantou
$\{\vartheta _{k}\}$
na $\Omega$

Nechť řada $\sum_{k=1}^{\infty }w_{k}$ stejnoměrně konverguje na $\Omega$ .
Nechť $|\vartheta _{k}(x)| <w_{k}(x)$ $\forall x$ náležející $\Omega$ a "k" náleží $\mathbb{N}$ ,

Pak $\sum_{k=1}^{\infty }\vartheta _{k}$ a $\sum_{k=1}^{\infty }|\vartheta _{k}|$ konvergují na $\Omega$ , a na $\Omega$ $|\sum_{k=1}^{\infty }\vartheta _{k}|$ < $\sum_{k=1}^{\infty }|\vartheta _{k}|$ < $\sum_{k=1}^{\infty }w_{k}$

Vzhledem k tomu, že jsem řadu odhadl majorantou, měl by Weierstrass fungovat.

Uvítám jakékoli rady, nápady, i zdrcující kritiku.

Předem díky!

krakonoš

Vyšetřovat stejnoměrnou konvergenci z řady $x^{2n}/n+x^2$ nemá smysl. Řada pro x=1 diverguje.
Zde má možná smysl uvažovat o stejnoměrné konvergenci řady bez posledního členu. Problém vidím v tom, že posloupnost částečných součtů cos nx je omezená jen na intervalech [epsilon;1] a [-1;-epsilon]. Tam bude zřejmě zajištěna i monotonie a stejnoměrná konvergence k nule u posloupnosti $x^{2n}/n+x^2$ .To by pak zajistilo stejnoměrnou konvergenci řady $[x^{2n}/n+x^2] cos(nx)$ . Pak by už stejnoměrně konvergovala i zadaná řada na intervalech [-1;-epsilon] a [epsilon;1] pro epsilon >0,díky omezenosti a monotonii arctg(nx) .

Problém vidím v okolí nuly x, tam je otázka, zda bude řada stejnoměrně konvergovat.

2M70 · 28. 10. 2020 12:10

krakonoš napsal(a):
Vyšetřovat stejnoměrnou konvergenci z řady $x^{2n}/1+x^2$ nemá smysl. Řada pro x=1 diverguje.

Předpokládal jsem, že $1^{2n}/1+1^2$ =1/2. Ale jak vidím, mýlil jsem se.

krakonoš · 28. 10. 2020 12:20

↑ 2M70:
Místo n se tam omylem napsala 1, už před půl hodinou jsem to opravila. Harmonická řada diverguje , dostaneme ji při x=1

2M70 · 28. 10. 2020 12:31

↑ krakonoš:

Máš pravdu, pro x = 1 dostávám harmonickou řadu, která diverguje.

Nicméně pro x < |1| dostávám $|x^{2n}|=|x^2|^n$ , tedy vzhledem k 2.mocnině platí i pro záporná "x".

Dále, pro x < |1| jde x^n k nule, stačí dosadit např. $(\frac{1}{2})^{n}$

Pokud se tedy nepletu.

2M70 · 28. 10. 2020 23:21

Na něco jsem přišel:

Mám řadu $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{x^{2n}}{n+x^{2}}\cdot cos(nx)\cdot arctg(nx)$

cos (nx) ... omezený 1
arctg (nx) ... omezení pí/2

výraz $\frac{1}{n+x^2}$ zkusím "vystrčit" před sumu, pro |x|<1 a $n\Rightarrow \infty$ jde k nule.

Zbývá mi řada $\sum_{n=1}^{\infty }x^{2n}= \sum_{n=1}^{\infty }(x^{2})^n$

To je konvergentní geometrická řada se součtem $\frac{1}{1-q}=\frac{1}{1-x^2}$

ale pouze za předpokladu, že q < 1, tedy $x^{2}<1$ , tedy $|x|<1$ , $x\in (-1,1)$

Pro tato "x" je tedy řada $\sum_{n=1}^{\infty }x^{2n}$ konvergentní.

Zbývá stejnoměrná konvergence.

Tady je otázka, jestli uvažovat stejnoměrnou konvergenci řady $\sum_{n=1}^{\infty }x^{2n}$ , nebo uvažovat celou posloupnost $\frac{x^{2n}}{n+x^2}$ . Kdybych bral jen řadu $x^{2n}$ , dostal bych podobnými úvahami jako pro řadu/posloupnost $x^{n}$ , že konverguje lokálně stejnoměrně na $(-1,1)$ .