#1 03. 11. 2020 01:00
- cinique girl
- Zelenáč
- Příspěvky: 2
- Škola: FEI VŠB
- Reputace: 0
Výpočet úhlu v trojúhelníku s těžnicí
Potřebovala bych poradit s jednoduchým řešením tohoto příkladu:
Máme trojúhelník ABC s těžnicí AD. Úhel ACB má 30 stupňů, úhel ADB má 45 stupňů. Jaká je velikost úhlu BAD??
Výsledek znám, podařilo se mi ho asi po hodině snažení spočítat pomocí goniometrie. Problém ale je, že toto by mělo být řešitelné jen se znalostí učiva ZŠ a bez použití kalkulačky a řešení by mělo údajně zabrat jen pár minut. Koukám na to už několik hodin, ale bohužel fakt netuším kudy kam. Pomocí googlu jsem se dopátrala jen rady, že prý by se při řešení mělo dát využít poučky, že součet dvou vnitřních úhlů je roven vnějšímu při nestejném vrcholu. Ale ani to mi nijak nepomohlo. Proto prosím o pomoc.
Offline
#2 03. 11. 2020 01:40 — Editoval Ferdish (03. 11. 2020 09:31)
- Ferdish
- Zablokovaný
- Příspěvky: 4173
- Škola: PF UPJŠ (2013), ÚEF SAV (2017)
- Pozice: vedecký pracovník
- Reputace: 81
Re: Výpočet úhlu v trojúhelníku s těžnicí
Podľa mňa sa tam využije fakt, že ak je uhol ADB rovný 45°, potom uhol ADC susedný uhlu ADB je rovný 135° a zo súčtu vnútorných uhlov trojuholníka ADC plynie, že veľkosť uhla CAD je 15°.
Na základe toho môžeme zostrojiť rovnice súčtov vnútorných uhlov v trojuholníkoch ABC a ADC, pričom neznámymi nám v tomto prípade budú uhly BAD a DBA a vieme že pre uhly platí CAB = CAD + DAC.
EDIT: opravený údaj na základe podnetu od ↑ cinique girl:
Offline
#3 03. 11. 2020 02:45
- cinique girl
- Zelenáč
- Příspěvky: 2
- Škola: FEI VŠB
- Reputace: 0
Re: Výpočet úhlu v trojúhelníku s těžnicí
Ferdish napsal(a):
Podľa mňa sa tam využije fakt, že ak je uhol ADB rovný 45°, potom uhol ADC susedný uhlu ADB je rovný 135° a zo súčtu vnútorných uhlov trojuholníka ADC plynie, že veľkosť uhla CAD je 5°.
Na základe toho môžeme zostrojiť rovnice súčtov vnútorných uhlov v trojuholníkoch ABC a ADC, pričom neznámymi nám v tomto prípade budú uhly BAD a DBA a vieme že pre uhly platí CAB = CAD + DAC.
Díky za reakci, ale to mi moc nepomohlo. A máš tam pár chybek - úhel CAD jsem si spočítala a je to 15 nikoliv 5. A ten poslední výraz má být patrně CAB = CAD + DAB. Aspoň teda myslím. Ale z toho nejsem schopná žádnou smysluplnou rovnici vytvořit. Všechny moje pokusy skončily nějakým nesmyslem typu, že 0=0. Pokud to dokážeš spočítat, mohl bys mi prosím napsat, jak ty rovnice sestavit?
Offline
#4 03. 11. 2020 09:40
- Ferdish
- Zablokovaný
- Příspěvky: 4173
- Škola: PF UPJŠ (2013), ÚEF SAV (2017)
- Pozice: vedecký pracovník
- Reputace: 81
Re: Výpočet úhlu v trojúhelníku s těžnicí
↑ cinique girl:
Pardon - ospravedlňujem sa za chybu. Uhol CAD je samozrejme 15°. Opravím :-)
To s tými rovnicami si ešte premyslím, je možné že som niečo podstatné prehliadol. Nebránim sa však tomu, aby medzitým zasiahol niekto menej pracovne vyťažený s iným nápadom.
Offline
#5 03. 11. 2020 10:03
Re: Výpočet úhlu v trojúhelníku s těžnicí
↑ cinique girl:
Pro základní školu docela obtížné.
Výpočet.
1. z bodu B spustíme kolmici na stranu AC a její průsečík s touto stranou označíme E.
2. pak úhel EBC je 90-30=60 st.
3. úhel CAD=180-(180-45)-30=45-30=15 st.
4. délka BE= (délka BC)/2 = délka BD (neb sin (30)=1/2)
5. tedy troj. EBD je rovnostranný
6. úhel ADE=60-45=15 st.
7. pak tedy troj.ADE je rovnoramenný a i troj. ABE je rovnoramenný pravoúhlý(délka BE=délka DE)
8. úhly troj. ABE (při základně) jsou tedy 45 st.
9. úhel BAD=45-15=30 st.
Pozn. Pokud by úhly byly zadány jinak, pak by výpočet byl o hodně složitější.
Offline
#6 03. 11. 2020 10:23
- Cheop
- Místo: okres Svitavy
- Příspěvky: 8209
- Škola: PEF VŠZ Brno (1979)
- Pozice: důchodce
- Reputace: 366
Re: Výpočet úhlu v trojúhelníku s těžnicí
↑ Honzc:
Zdravím, Tvoje řešení není úplně košer, protože v bodě 4) využíváš goniometrickou
funkci sin 30 stupňů.
PS: To už to zrovna můžeš počítat přes sinovou větu.
Nikdo není dokonalý
Offline
#9 03. 11. 2020 12:20
Re: Výpočet úhlu v trojúhelníku s těžnicí
↑ surovec:
Možná neberou, ale počítat sinus se na základní škole bere - viz třeba Tady
Offline
#11 03. 11. 2020 12:56 — Editoval misaH (03. 11. 2020 12:57)
- misaH
- Příspěvky: 13467
Re: Výpočet úhlu v trojúhelníku s těžnicí
↑ surovec:
By si sa čudoval...
U nás sa už goniometria na ZŠ neberie vôbec, ale kým sa brala, učili sa aj tabuľkové hodnoty.
Vzal sa rovnostranný trojuholník, spustila sa výška - a hneď si mal pravouhlý trojuholník s uhlami 30°, 60° a (samozrejme) 90°.
Pytagorova veta pre výšku a potom už len hodnoty, pre sinus 30° priamo bez výpočtu, samozrejme :-)...
Pre 45° pravouhlý rovnoramenný trojuholník...
Základné úlohy:
pravouhlý trojuholník s "tabuľkovým" uhlom
poznáš jednu stranu a máš zistiť druhú - ak sa dá, tak bez počítania (aby decká pochopili podstatu)
Pokiaľ viem, Česi goniometriu na ZŠ ponechali, z hľadiska metodiky nie je dôvod, aby pre 30° nedokázali zistiť buď chýbajúcu preponu alebo odvesnu.
Celá úloha je na ZŠ podľa mňa pre normálnych žiakov neľahká - ak v nej nie je nejaká finta, ktorú nevidíme... jednoznačnosť výsledku je daná tou ťažnicou...
Offline