Matematické Fórum

Zdravím,

především mám dvě vysvětlivky:

1) vím, že se nemá pokládat více problémů v jednom vlákně, nicméně otázky spolu úzce souvisí

2) otázky jsou spíše teoretické, proto mám nalezeno více teoretických než početních poznatků, a moc nevím, jak je "slepit" dohromady do odpovědi.

*

Předpoklady:

C náleží do <0,1> Cantorovo diskontinuum

C* … množina, definovaná na intervalu <k, k+1>, k náleží Z,
taková, že
„x“ náleží do C* právě tehdy, když  „x – k“ náleží „C“

*

Otázky:

Ukažte, že:

a) C* = podmnožina R, je v R množina míry nula
b) Množina C x R, náležející R x R =: R^2, je množina míry 0 v R^2
c) Množina C* x R je množina míry nula v R^2

+ poznámka:

C* alternativně: C* := {„x“ náleží R, {x} náleží C}, kde
{x}:= x – [x] je zlomková část čísla „x“ náležející R,
[x] je dolní část,
[x] ≤ x ≤  [x] + 1

Příklad:
[-3,17] = -4 a [-3,17] = -3,17+4=0,83

Tolik zadání.

*





Teoretické poznatky, které se mi k tomu podařilo vyhledat:

- Řekneme, že E náležející R^d je množina míry nula, pokud pro všechna ε > 0 existuje spočetné pokrytí intervaly I_k, k = 1,…,∞, tak, že ∑ V(I‘_k) < ε,
Kde
V (I) = objem intervalu I, V(I) = ∏ (b_i – a_i),
Interval I = (a_1, b_1] x  (a_2, b_2] x … x (a_d, b_d],
- ∞ < a_i < b_i < + ∞, i = 1,2,…,d

- Spočetné sjednocení množin míry nula je množina míry nula

- Cantorovo diskontinuum – je nespočetná množina míry nula,
získáme z <0,1> tak, že <0,1> rozdělíme na třetiny a vynecháme prostřední třetinu (1/3, 2/3), ve zbylých třetinách postup opakujeme

- C je nespočetná

- C náleží <0,1> bez F_n,
kde F_n: sjednocení vynechaných intervalů po n-tém kroku konstrukce C,
Tj.
(objem intervalu) V (F_n) = 1/3 + 2/9 + 4/27+…+ (2^n-1)/(3^n) =
1/3 . ∑ (od i=0 do n-1) (2/3)^i

= 1/3 . (1 – (2/3)^n) / (1 – 2/3) = 1 – (2/3)^n → 1, pro n → ∞
→ C je pokryta spočetným (konečným?) sjednocením otevřených intervalů, jejich celkový objem jde k nule

- limitním způsobem zmizí intervaly stejné délky, jako měla původní úsečka

- Celková délka „vyhozených“ intervalů = 1 = délka startovního intervalu

- Cantorova množina má míru = 0, 0 = 1 – 1 = (délka toho, co jsme „vyhodili“) mínus (délka, s čím jsme startovali),
má stejně mnoho bodů jako původní interval → nespočetná

- spočetný interval je indexovaný přirozenými čísly

- množina míry nula = taky podmnožina nižší dimenze (přímka v R^2)

- každý interval na reálné ose je pokrytím sebe samého

- Lebesgueova míra ≈ délka intervalu (I), bodový interval [a,a] = a – a = 0, bod má nulovou míru (a Cantorovo diskontinuum je tvořeno body),
Lebesgueova míra Cantorova diskontinua je nulová

- jinak: délka intervalu [0,1] =1, Lebesgueova míra intervalu [0,1] = 1,
Lebesgueova míra odebraných intervalů = 1, tzn. Lebesgueova míra množiny, která zbyla, je 1 – 1 = 0

*

To je asi zatím vše, co se mi podařilo zjistit. Teď jde o to, „vydestilovat“ z toho odpověď na ty tři otázky.

Budu vděčný za jakýkoli nápad, radu, nápovědu.