Matematické Fórum

cookie208 · 04. 11. 2020 19:27

Ahoj, potřebovala bych pomoct s tímto příkladem:

Kniha leží na stole ve vzdálenosti 1 m od paty kolmice spuštěné z lampy na rovinu stolu. V jaké výšce nad stolem musíme lampu umístit, aby osvětlení knihy bylo maximální? [0,71 m]

Vůbec nevím, jak mám začít, jak si odvodit úhel a jak pokračovat... Takže vlastně nic :D Předem moc děkuji za radu.

Ferdish

Považujme lampu za zdroj bodového osvetlenia. Potom intenzita osvetlenia $E$ jednotkovej plochy týmto zdrojom je daná vzťahom

$E = \frac{I\cos\alpha}{r^2}$

kde $I$ je svietivosť zdroja, $r$ je vzdialenosť medzi zdrojom svetla a plochou na ktorú toto svetlo dopadá a $\alpha$ je uhol odklonu svetelných lúčov od kolmice na danú plochu. Dúfam že hovorím zrozumiteľne :-)

Je vhodné urobiť si k danej situácii náčrt - pomôcť ti môže napr. tento:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Máš hľadať maximálnu hodnotu intenzity v závislosti od vzdialenosti $R$ . Než sa pohneme ďalej, tak sa pre istotu opýtam - hovorí ti niečo pojem derivácia?

cookie208 · 04. 11. 2020 21:10

↑ Ferdish:

Pojem derivace znám ale nevím, jak to dát dohromady a dojít k výsledku.

Ferdish · 04. 11. 2020 21:20

V matematike sa pri vyšetrovaní priebehu funkcie pri hľadaní lokálnych extrémov (maximá, minimá) funkcie využíva prvá derivácia.
Ak má funkcia premennej $x$ v nejakom bode svojho def. oboru lokálny extrém, tak má v tomto bode nulovú prvú deriváciu podľa premennej $x$ .

Ty hľadáš maximálnu hodnotu intenzity v závislosti od hodnoty $R$ , takže vlastne tiež hľadáš extrém - teda môžeš využiť deriváciu intenzity $E$ podľa $R$ .

cookie208 · 05. 11. 2020 09:48

Vyjádřila jsem si cos(alpha) = h/r a r pomocí Pythagorovy věty r = (h^2+R^2)^(1/2). Takže mám E = (I*h)/((h^2+R^2)^(3/2)).

Teď bych tedy měla využít podmínku derivace?

Ferdish · 05. 11. 2020 09:58

Úpravy a dosadenie vyzerajú OK, takže súhlasím - teraz je treba aplikovať podmienku nulovej prvej derivácie.

cookie208 · 05. 11. 2020 11:45

Derivace mi vyšla E(h) = (I*((h^2+R^2)^(3/2))-3I(h^2)*((h^2+R^2)^(1/2)))/((h^2+R^2)^(3)). Takže položím rovno 0 a už jen upravím jestli to chápu správně

Ferdish

Mám pre teba jednu správu, ktorá sa ti zrejme nebude páčiť. Keď som si pozrel tvoju deriváciu a následne znovu zadanie, tak som zistil že veličina podľa ktorej máme derivovať je výška $h$ a nie vzdialenosť $R$ , tá je pevne daná.

Ospravedlňujem sa, ale až teraz som si uvedomil svoju chybu :-)

BTW tá tvoja derivácia podľa $R$ (aj keď v našom prípade už teraz bezpredmetná) nebola dobre.

cookie208 · 05. 11. 2020 12:19

Myslím, že jsem derivovala podle h

Ferdish · 05. 11. 2020 12:27

V tom prípade to aj tak nesedí, pretože po úprave by vo výraze pre prvú deriváciu v menovateli zlomku malo ostať (h^2+R^2)^(5/2)

Matematické Fórum

#1 04. 11. 2020 19:27

Fyzika - radiometrie a fotometrie

#2 04. 11. 2020 20:37 — Editoval Ferdish (04. 11. 2020 20:38)

Re: Fyzika - radiometrie a fotometrie

#3 04. 11. 2020 21:10

Re: Fyzika - radiometrie a fotometrie

#4 04. 11. 2020 21:20

Re: Fyzika - radiometrie a fotometrie

#5 05. 11. 2020 09:48

Re: Fyzika - radiometrie a fotometrie

#6 05. 11. 2020 09:58

Re: Fyzika - radiometrie a fotometrie

#7 05. 11. 2020 11:45

Re: Fyzika - radiometrie a fotometrie

#8 05. 11. 2020 12:02 — Editoval Ferdish (05. 11. 2020 12:07)

Re: Fyzika - radiometrie a fotometrie

#9 05. 11. 2020 12:19

Re: Fyzika - radiometrie a fotometrie

#10 05. 11. 2020 12:27

Re: Fyzika - radiometrie a fotometrie

Zápatí