Matematické Fórum

Proch · 06. 11. 2020 16:03

Zdravím,
mám problém s jednou úlohou nevím v ní jak dál třeba by mi někdo dokázal poradit jakým způsobem pokračovat

Mám spočítat limitu nebo dokázat, že limita neexistuje.
\lim_{x\to0}(\cos x)^{\frac{1}{\sin^{2} x}}

z limity je jasné, že existovat nebude, už jen proto že po dosazení by mi ve zlomku vyšlo 1/0, ale nenapadá mě moc jak to dokázat matematicky. Možná snad pře Heineho větu, ale nevím kde se odpíchnout.

Proch · 06. 11. 2020 16:05

oprava asi jsem špatně vložil text z editoru
[mathjax]\lim_{x\to0}(\cos x)^{\frac{1}{\sin^{2} x}}[/mathjax]

Ferdish

Zlomok síce vyjde nekonečno, ale ten zlomok je v exponente - ak dosadíme za [mathjax]x=0[/mathjax] aj do kosínusu, tak dostaneme [mathjax]1^{\infty }[/mathjax], čo je neurčitý výraz.

Na základe vykreslenia danej funkcie do Desmosu vidíme, že funkcia je na okolí bodu [mathjax]x=0[/mathjax] spojitá, takže limita v nule bude existovať.

surovec

↑ Proch:
asi takhle:
$=\lim_{x \to 0}\left(1+\cos x - 1\right)^{\frac{1}{\sin^2 x}}=$
$=\lim_{x \to 0}\left(1+\frac{\frac{\cos x-1}{\sin^2 x}}{\frac{1}{\sin^2 x}}\right)^{\frac{1}{\sin^2 x}}=$
$=\lim_{x \to 0}\left(1+\frac{\frac{\cos x-1}{1-\cos^2 x}}{\frac{1}{\sin^2 x}}\right)^{\frac{1}{\sin^2 x}}=$
A pak už je to jasné, ne? Výsledek je [mathjax]\frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}[/mathjax].

AmayaYakushi · 08. 11. 2020 18:28

↑ surovec:

neni to spis postup, jak vypocitat limitu v +-nekonecnu? ,ale v zadani je pokud jde x k nule.

Matematické Fórum

#1 06. 11. 2020 16:03

Limita funkce - důkaz její neexistence

#2 06. 11. 2020 16:05

Re: Limita funkce - důkaz její neexistence

#3 06. 11. 2020 16:11 — Editoval Ferdish (06. 11. 2020 16:12)

Re: Limita funkce - důkaz její neexistence

#4 06. 11. 2020 16:39 — Editoval surovec (06. 11. 2020 16:41)

Re: Limita funkce - důkaz její neexistence

#5 08. 11. 2020 18:28

Re: Limita funkce - důkaz její neexistence

Zápatí