Matematické Fórum

hcetefil

Prosim poradte mi s touhle limitou: (bez vyuziti l'hopitala a derivaci)

$\lim_{x\to0}\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}$

Ferdish

Bez L'Hospitalovho pravidla ani derivácií (a teda použitia Taylorovho radu) to nejde zrovna jednoducho, ale nápad by tu bol. Brali ste už vetu o zovretí funkcie (tiež známu ako veta o dvoch policajtoch)?

hcetefil · 06. 11. 2020 22:53

↑ Ferdish:
Anoo

Ferdish · 06. 11. 2020 23:18

OK. V tom prípade by som postupoval tak, že by som si najprv čitateľa upravil pomocou trigonometrickej identity na

$\ln \cos x=\frac{\ln (1-\sin ^{2}x)}{2}$

a následne sa pokúsil daný logaritmus ohraničiť funkciami [mathjax]f(x), g(x)[/mathjax] takými, že na okolí nuly by platilo

$f(x)\le \ln (1-\sin ^{2}x) \le g(x)$

a limity oboch funkcí v bode [mathjax]x=0[/mathjax] by boli rovné nule. Prípadne si pre jednoduchosť pomôcť substitúciou [mathjax]-\sin ^{2}x\equiv \alpha [/mathjax] a teda hľadať dvojicu funkcií [mathjax]f(\alpha ),g(\alpha )[/mathjax] takých, že

$f(\alpha )\le \ln (1+\alpha ) \le g(\alpha )$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

hcetefil · 07. 11. 2020 10:20

↑ Ferdish:

Super, dakujem moc! Toto je presne riesenie, ktore som hladal. Len skoda ze som sa sam na to neprisiel... A dolny odhad je teda:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Ferdish · 07. 11. 2020 10:33

↑ hcetefil:
Áno, to je jedna z možností dolného odhadu. Dobrá práca.

laszky · 07. 11. 2020 14:59

↑ hcetefil:

Anebo pomoci Taylora:

$\cos(x)=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+\mathcal{O}(x^6)$
$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\mathcal{O}(x^3)$
$\ln(\cos(x))=\ln(1+(\cos(x)-1))=(\cos(x)-1)-\frac{(\cos(x)-1)^2}{2}+\mathcal{O}((\cos(x)-1)^3)=-\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{12}+\mathcal{O}(x^6)$

Ferdish

↑ laszky:
Podmienka riešenia bola: žiadny L'Hospital ani iné použitie derivácií (viď prvý príspevok). Takže sa na to muselo inak.

laszky · 07. 11. 2020 15:07 — Editoval laszky (14. 11. 2022 19:16)

↑ Ferdish:

Zadne derivace ani l'Hospitala v mem prispevku nevidim.

Jinak jde take pouzit

[mathjax] {\displaystyle
\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(\cos(x))}{x^2} = \lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1+(\cos(x)-1))}{\cos(x)-1}\cdot\frac{\cos(x)-1}{x^2}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\cos(x)-1}{x^2}
}
[/mathjax]

Ferdish

↑ laszky:
Lenže Taylorov rad vznikol ich použitím. To že neboli explicitne vo výpočte použité neznamená, že neboli aplikované. Ak by hcetefil mohol pri výpočte Taylora použiť, IMHO by tak urobil bez premýšľania (a vytvorenia tejto témy).

Ale môžeme sa na to opýtať priamo jeho - mám mu písnuť cez SZ?

laszky · 07. 11. 2020 15:30

↑ Ferdish:

To asi neni nutne.

hcetefil · 07. 11. 2020 17:29

↑ laszky:

Jak rekl Ferdish, kdyz jsem napsal bez pouziti derivaci tak jsem mel na mysli i bez pouziti cehokoliv co je zalozeno na derivacich. Ale dekuji za ochotu.

$\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(\cos(x))}{x^2} = \lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1+(\cos(x)-1))}{\cos(x)-1}\cdot\frac{\cos(x)-1}{x^2}=\lim\limis_{x\to0}\frac{\cos(x)-1}{x^2}$

A toto je taky moznost, jeste jednoduzsi nez navrh Ferdisha. A myslim ze tohle melo byt i zamyslane reseni, ktere jsme meli pouzit. Ale nevadi, aspon ucitel bude mit radost ze jsem ako jeden z mala pouzil jiny zpusob :D

Ferdish

↑ hcetefil:
Díky za objasnenie. Avšak kroku, ktorý si práve ukázal, som trochu neporozumel...chápem, že si vo vnútri logaritmu pripočítal a odpočítal jednotku a celý zlomok rozšíril vhodnou jedničkou, ale z čoho plynie finálna rovnosť, tak to mi hlava neberie. Naviac keď to zase vedie na limitu "0/0".

hcetefil · 07. 11. 2020 17:59

↑ Ferdish:

https://ibb.co/mNncTQg

Ferdish · 07. 11. 2020 18:02

↑ hcetefil:
OK, ale čo tento krok? Aké tvrdenie/pravidlo bolo použité tu?

$\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1+(\cos(x)-1))}{\cos(x)-1}\cdot\frac{\cos(x)-1}{x^2}=\lim\limis_{x\to0}\frac{\cos(x)-1}{x^2}$

hcetefil · 07. 11. 2020 18:06

↑ Ferdish:
Bola pouzita veta o limite zlozenej funkcie a "znama" limita $\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x} = 1$

Ferdish · 07. 11. 2020 18:14

OK, poznámka o známej limite mi stačí :-) drž sa v ďalšom štúdiu!

hcetefil · 07. 11. 2020 18:20

↑ Ferdish:
diky :)

krakonoš · 07. 11. 2020 19:05

Známá limita ale není nic jiného než Taylor, y=x je tečnou ln(1+x) v bodě nula, ty funkce se chovají stejně, proto je limita rovna jedné.

Ferdish

↑ krakonoš:
Môže byť...bežne sa napr. na SŠ zvyklo pri limitách goniometrických výrazov postulovať že [mathjax]\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1[/mathjax] bez detailnejšieho vysvetľovania, až potom pri využití derivácií resp L'Hospitalovho pravidla to bolo jasné. S Taylorom sa väčšina stredoškolákov nemá šancu zoznámiť.

hcetefil · 07. 11. 2020 19:41

↑ Ferdish:

Nie je pravda, my mame vsetky "zname" limity dokazane, a to bez pouzitia derviacii a cohokolvek. Len to nemusime dokazovat pri pocitani prikladov. Ale mame to vediet dokazat ked sa na to priamo pri skuske spytaju.

↑ krakonoš:

Znama limita neni nic jineho nez $\frac{\ln (x+1)}{x} = \frac{\ln (x+1)}{x+1-1}= \frac{1}{\frac{e^{\ln (x+1) - 1}}{\ln (x+1)}}$

A pomoci vety o limite sevrene funkce a limity $\lim_{x\to0}\frac{e^{x}-1}{x}=1$ dostavame vysledok.

Tady je dukaz limity $\lim_{x\to0}\frac{e^{x}-1}{x}=1$ jen s pomoci rad: https://ibb.co/3z3v0zZ

Ferdish · 07. 11. 2020 19:48

↑ hcetefil:
Pekné :-)

krakonoš

Důkaz sice využívá sevřenou limitu, ale samotná funkce exp x je rozvinuta v Taylorovu řadu .

Pomeranc

↑ hcetefil:

Ahoj,

omlouvám se, že se do toho míchám, ale v důkazu se používá, že
$e^{x}=\sum_{i=0}^{\infty }\frac{x^{i}}{i!}$ (resp. část této sumy).

Jak se ta rovnost odvodila? A jsi si jistý, že při odvozování se nepoužila vůbec derivace?

EDIT: později než krakonoš, ale nechám to tu.

hcetefil · 08. 11. 2020 09:22

↑ Pomeranc: ↑ krakonoš:

Sice nemame primo odvozene, jak se z $e^{x}$ dostalo $\sum_{i=0}^{\infty }\frac{x^{i}}{i!}$ ,

ale muzeme dokazat, ze ta rada konverguje pro vsechna $x$ , a take muzeme dokazat, ze plati vsechny zakladni vlastnosti exponencialy.

Matematické Fórum

#1 06. 11. 2020 21:52 — Editoval hcetefil (06. 11. 2020 21:53)

Limita funkce

#2 06. 11. 2020 22:48 — Editoval Ferdish (07. 11. 2020 10:02)

Re: Limita funkce

#3 06. 11. 2020 22:53

Re: Limita funkce

#4 06. 11. 2020 23:18

Re: Limita funkce

#5 07. 11. 2020 10:20

Re: Limita funkce

#6 07. 11. 2020 10:33

Re: Limita funkce

#7 07. 11. 2020 14:59

Re: Limita funkce

#8 07. 11. 2020 15:05 — Editoval Ferdish (07. 11. 2020 15:05)

Re: Limita funkce

#9 07. 11. 2020 15:07 — Editoval laszky (14. 11. 2022 19:16)

Re: Limita funkce

#10 07. 11. 2020 15:21 — Editoval Ferdish (07. 11. 2020 15:21)

Re: Limita funkce

#11 07. 11. 2020 15:30

Re: Limita funkce

#12 07. 11. 2020 17:29

Re: Limita funkce

#13 07. 11. 2020 17:39 — Editoval Ferdish (07. 11. 2020 17:43)

Re: Limita funkce

#14 07. 11. 2020 17:59

Re: Limita funkce

#15 07. 11. 2020 18:02

Re: Limita funkce

#16 07. 11. 2020 18:06

Re: Limita funkce

#17 07. 11. 2020 18:14

Re: Limita funkce

#18 07. 11. 2020 18:20

Re: Limita funkce

#19 07. 11. 2020 19:05

Re: Limita funkce

#20 07. 11. 2020 19:27 — Editoval Ferdish (07. 11. 2020 19:38)

Re: Limita funkce

#21 07. 11. 2020 19:41

Re: Limita funkce

#22 07. 11. 2020 19:48

Re: Limita funkce

#23 07. 11. 2020 20:44 — Editoval krakonoš (07. 11. 2020 20:44)

Re: Limita funkce

#24 07. 11. 2020 21:03 — Editoval Pomeranc (07. 11. 2020 21:04)

Re: Limita funkce

#25 08. 11. 2020 09:22

Re: Limita funkce

Zápatí