Matematické Fórum

2M70 · 11. 11. 2020 14:11

Jeden důkazový příklad:

má se ověřit, že řada
$\sum_{n=2}^{\infty }\frac{(-1)^n.n^{2}}{x^{4n}}$
definuje na $<2,+\infty )$ lebesgueovsky integrovatelnou funkci.

Postup je předem určený: použít Fatouovo lemma, resp. ověřit všechny jeho 3 přepoklady.

Obecně:

1)
$\forall n\in \mathbb{N}: f_{n}\in L,f_{n}\ge 0$

2)
$f_{n}\Rightarrow f$ skoro všude

3)
$\exists K\ge 0:\forall n\in \mathbb{N}:\int_{}^{}f_{n}\le K$

K jednotlivým předpokladům:

1)

Potřebuji ověřit:
$s_{n}(x)=\sum_{i=2}^{n}\frac{(-1)^{i}.i^{2}}{x^{4i}}$

tedy že posloupnost $\{s_{n}\}$ splňuje
$s_{n}\in L, \forall n\in \mathbb{N}$
tedy posloupnost n-tých částečných součtů lebesg. integrovatelná pro všechna "n"

A tady PRVNÍ PROBLÉM:

Podle příkladu, podle kterého postupuji, má následovat ověření rovnosti (přepsáno pro náš případ):

$\int_{2}^{\infty }\sum_{i=2}^{n}\frac{(-1)^{i}.i^{2}}{x^{4i}}dx=\sum_{i=2}^{n}\int_{2}^{\infty }\frac{(-1)^{i}.i^{2}}{x^{4i}}dx$

k tomu mám pouze poznámku, že
- funkce je spojitá - to platí i v tomto případě
- "n" je konečné --> konečná suma --> lze prohodit sumu a integrál - TO SE MI NEZDÁ
- L je vektorvý prostor, uzavřený na částečné součty
- částečné součty jsou lebesg. integrovatelné

Veledůležitý předpoklad pro Fatouovo lemma - nezápornost funkce, resp. posloupnosti částečných součtů, zde tedy musí platit

$s_{n}\ge 0$ na $<2,+\infty )$ pro $\forall n\in \mathbb{N}$

a má být $\forall n\in \mathbb{N}$ $s_{n}$ součet konečně mnoha lebesg. integrovatelných funkcí.

2)
$f_{n}\Rightarrow f$ skoro všude

Mám součet alternující řady, tedy příklad na Leibnitze, nutno ověřit, že
$\frac{i^{2}}{x^{4i}}$
je klesající a konverguje k nule.

- konverguje k nule - splněno - limita pro $n\Rightarrow \infty$ jde k nule,
- monotónně klesající – splněno (zatím nebudu rozvádět),

Má vyjít $s_{2}(x)\le s_{n}(x), \forall n$

3) TADY SI NEVÍM RADY
$\exists K\in \mathbb{N},\forall n\in \mathbb{N}$

a má být
$\int_{_{}}^{}s_{n}(x)dx\le K$

Stručně:
do integrálu dosadím sumu
$\int_{2}^{\infty }\sum_{i=2}^{n}\frac{(-1)^{i}i^{2}}{x^{4n}}$

sumu "vystrčím" před integrál, dále integruji, až dostanu
$\sum_{i=2}^{n}\frac{(-1)^{i}i^{2}}{{1-4i}}2^{-4i+1}=\sum_{i=2}^{n}\frac{2\cdot (-1)^{i}i^{2}}{{1-4i}}\cdot \frac{1}{2^{4i}}$

TADY VIDÍM PROBLÉM:

řada:

$\sum_{i=2}^{n}\frac{(-1)^{i}i^{2}}{{1-4i}}2^{-4i+1}=\sum_{i=2}^{n}\frac{2\cdot (-1)^{i}i^{2}}{{1-4i}}\cdot \frac{1}{2^{4i}}$

obsahuje:
$\frac{2\cdot (-1)^{i}i^{2}}{{1-4i}}\cdot \frac{1}{2^{4i}}$

kde limita v prvním členu přejde na "i", řada by tedy měla divergovat.

Otázka je, zda ten člen $\frac{1}{2^{4i}}$
"nepřebije" to i-čko v čitateli, a dostávám konvergentní řadu (ostatně, tak to musí vyjít, podle zadání)

Konečně k 3. předpokladu:

má existovat
$\exists K\ge 0:\forall n\in \mathbb{N}:\int_{}^{}f_{n}\le K$

nevím, zda je splněno

$\sum_{i=2}^{n}\frac{(-1)^{i}i^{2}}{{1-4i}}2^{-4i+1}=\sum_{i=2}^{n}\frac{2\cdot (-1)^{i}i^{2}}{{1-4i}}\cdot \frac{1}{2^{4i}}=K$ ,
TO JE TAKY PROBLÉM

a zda

$\exists n_{0} \in \mathbb{N},\forall n\ge n_{0}:\int_{2}^{\infty }s_{n}(x)dx\le K+1$
TO JE TAKY PROBLÉM

*

Výsledek má tedy podle Fatouova lemmatu být
$f\in L$
a
$\int_{2}^{\infty }f(x)dx\le K+1$

A mělo by tedy být ověřeno, že řada
$\sum_{n=2}^{\infty }\frac{(-1)^n.n^{2}}{x^{4n}}$
definuje na
$<2,+\infty )$
lebesgueovsky integrovatelnou funkci.

*
Omlouvám se za rozsah příspěvku, ale stručněji se mi to nepovedlo :-(

Uvítám jakoukoli radu, pomoc, abych opravil a odstranil chyby, kterých v tom postupu jsou jistě kvanta.

Díky!!!

Matematické Fórum

#1 11. 11. 2020 14:11

Fatouovo lemma - řada definuje lebesgueovsky integrovatelnou funkci

Zápatí