Matematické Fórum

To čo ti vyšlo už je ten tvoj hľadaný rad resp. jeho prvé 4 členy.

Musíš vychádzať zo všeobecného predpisu pre Taylorov rad [mathjax] T_{n}^{{f,a}}(x)[/mathjax] stupňa [mathjax]n[/mathjax] funkcie [mathjax]f(x)[/mathjax] v bode [mathjax]a[/mathjax] daný predpisom



kde [mathjax]f^{(k)}(a)[/mathjax] znamená [mathjax]k[/mathjax]-tú deriváciu funkcie [mathjax]f(x)[/mathjax] v bode [mathjax]a[/mathjax] a [mathjax]f^{(0)}(a)[/mathjax] znamená priamo funkčnú hodnotu funkcie v bode [mathjax]a[/mathjax], teda [mathjax]f(a)[/mathjax].
V našom prípade je [mathjax]a=0[/mathjax] takže to pe nás znamená použiť predpis



Spočítaj všeobecné tvary prvých pár členov a porovnaj ich s členmi pre príslušné [mathjax]k[/mathjax], ktoré ti vyšli - určite sa tam prejaví istá pravidelnosť, ktorú bude možné vypozorovať a pretaviť do všeobecného výrazu pod sumou.
Ak sa pozrieš na rad ku ktorému si dospel, vidíš že obsahuje iba členy s párnymi mocninami [mathjax]x[/mathjax] - to bude jedno z vodítok: zabezpečiť, aby členy radu obsahovali iba párne mocniny [mathjax]x[/mathjax].

↑ ezel007:
To sa mi nejak nezdá...vidíš vo svojom zápise radu

[mathjax2]{e}^{cos(x)}=e-\frac{ex^{2}}{2}+\frac{ex^{4}}{6}-\frac{31ex^{6}}{720}+...[/mathjax2]

niekde členy s kosínusom premennej [mathjax]x[/mathjax]? Naviac v tej sume nevystupuje Eulerova konštanta.

To už vyzerá o niečo rozumnejšie, ale ako si si dosadením pre [mathjax]n=2[/mathjax] všimol, tak to nesedí. Dokonca to nesedí ani pre [mathjax]n=3[/mathjax].

↑ Ferdish:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=t … +for+x%3D0

↑ ezel007:



Ľ: n-tá mocnina kosínusu
P: n-tá mocnina ixu

Ak celý kosínus, tak



Pozor na to (forever).

To pôjde ťažko. Tie alternatívne rady, ktoré ti vypľul Wolfram operujú s mocninami [mathjax]\cos x[/mathjax] zatiaľ čo členy Taylorovho radu funkcie [mathjax]e^{\cos x}[/mathjax] obsahujú iba mocniny [mathjax]x[/mathjax]. Proste na tieto rady sa prišlo inou metódou, než je metóda Taylorovho polynomického rozvoja.

Osobne si myslím, že ak by daný mocninový rad existoval a šiel by zapísať pomocou predpisu s využitím sumy, tak by ho Wolfram zobrazil medzi Series representations v tvojom odkaze. Keďže tam však nie je, tak to zrejme nebude možné...

Pár prvých všeobecných členov vypočítaných podľa Taylorovho predpisu (vpravo) porovnaných s členmi "hotového" Taylorovho radu (vľavo), zatiaľ sa mi tam žiadna očividná pravidelnosť nevynára:

↑ Ferdish:


Když už jsme u těc zápisů z wolframu, tak  co mi říká výsledek o téhle funkci? https://www.wolframalpha.com/input/?i=t … +for+x%3D0

Mě to vyšlo  [mathjax]x+\sum_{1}^{\infty }\frac{(-x)^{n+1}}{n(n+1)} [/mathjax]

↑ Ferdish:

Series representations:

To vyjádření