Matematické Fórum

dosi6 · 13. 11. 2020 12:32

Kulička padá volným pádem z výšky h na nakloněnou rovinu, která svírá s horizontem úhel [mathjax] \alpha[/mathjax] a pružně se od ní odrazí. V jaké vzdálenosti l od místa prvního dopadu se kulička odrazí podruhé?
Odpor prostředí se zanedbává.

Příklad jsem začal řešit otočením souřadnic. [mathjax]g_{x}=g\sin \alpha[/mathjax]

Z volného pádu vím, že [mathjax]t_{1}=\sqrt{\frac{2h}{g}}[/mathjax] (čas prvního dopadu)

Pro čas druhého dopadu: [mathjax]t_{2}=2\cdot \sqrt{\frac{2h}{g}}+t_{1}[/mathjax]

Pohybová rovnice do které dosazuji je ve tvaru: [mathjax]x =\frac{1}{2} g_{x}\cdot t^{2}[/mathjax]

Po dosazení dostanu tvar:

[mathjax]x =\frac{1}{2} g \cdot \sin \alpha \cdot (2\cdot \sqrt{\frac{2h}{g}}+\sqrt{\frac{2h}{g}})^{2}[/mathjax]

[mathjax]x =\frac{1}{2} g \cdot \sin \alpha \cdot (3\cdot \sqrt{\frac{2h}{g}})^{2}[/mathjax]

[mathjax]x =\frac{1}{2} g \cdot \sin \alpha \cdot 9\cdot {\frac{2h}{g}}[/mathjax]

[mathjax]x = 9\cdot h\cdot \sin \alpha[/mathjax]

U příkladu je zapsán výsledek [mathjax]x = 8\cdot h\cdot \sin \alpha
[/mathjax]
Je chybný výsledek u zadání příkladu, nebo mám někde chybu já?

zdenek1

↑ dosi6:
Vy tam máte chybu určitě. Počítáte druhou fázi pohybu jako volný pád, ale to je šikmý vrh.
Jejich výsledek je OK

misaH · 13. 11. 2020 14:37 — Editoval misaH (13. 11. 2020 14:38)

↑ zdenek1:

vrch?

:-)

zdenek1 · 13. 11. 2020 15:29

↑ misaH:
Detailisto

dosi6 · 13. 11. 2020 15:29

↑ zdenek1:
Chápu tedy dobře, že z volného pádu dostanu [mathjax]v = v_{0}[/mathjax] vrhu šikmého. Tedy [mathjax]v_{0} = \sqrt{2hg}[/mathjax]

Vztah pro vzdálenost šikmého vrhu je [mathjax]l = \frac{2\cdot v_{0}^{2}\sin \alpha \cdot \cos \alpha }{g}[/mathjax]

Tady by mi tedy stačilo jen dosadit, ne? [mathjax]v_{0}[/mathjax]
[mathjax]l = 4\cdot h\cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha [/mathjax]

misaH · 13. 11. 2020 15:31 — Editoval misaH (13. 11. 2020 15:32)

↑ zdenek1:

:-)

Maj sa...

Kľudne gumuj...

zdenek1 · 13. 11. 2020 15:34

↑ dosi6:
Jenže to je délka vrhu na vodorovnou rovinu, tady ta rovina klesá pod úhlem $\alpha$ . A navíc, když se těleso odrazí od té nakloněné roviny, tak elevační úhel bude $90^\circ - 2\alpha$ . Chtělo by to obrázek, ale nejdou nahrávat. Naktereslete si to.

dosi6 · 13. 11. 2020 15:36

↑ zdenek1:

https://ctrlv.cz/CXKl - odkaz na obrázek

dosi6 · 13. 11. 2020 17:18 — Editoval dosi6 (13. 11. 2020 17:19)

↑ zdenek1:
[mathjax]x=4\cdot h\cdot \sin (90-2\alpha )\cdot \cos (90-2\alpha )[/mathjax]

[mathjax]\sin (90-2\alpha ) = \cos 2\alpha [/mathjax]

[mathjax]\cos (90-2\alpha )= -\sin 2\alpha [/mathjax]

[mathjax]\cos 2\alpha =\cos ^{2}-\sin ^{2}[/mathjax]

[mathjax]-\sin 2\alpha =-2\sin \alpha\cdot \cos \alpha [/mathjax]

Po úpravě jsem dostal:
[mathjax]x = -8\cdot h\cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha \cdot (\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha )[/mathjax]

Ale nevím jak postupovat dále...

zdenek1 · 13. 11. 2020 17:25

↑ dosi6:
Takže zvolíme soustavu souřadnic tak, aby její počátek ležel v bodě prvního dopadu, osy budou orientovány klasicky.
Pak $x=v_0t\cos(90^\circ-2\alpha)=v_0t\sin2\alpha$
a $y=v_0t\sin(90^\circ-2\alpha)-\frac12gt^2=v_0t\cos2\alpha-\frac12gt^2$
Z první rovnice vyjádříme $t$ a dosadíme do druhé
$y=x\,\text{cotg}2\alpha-\frac{gx^2}{2v_0^2\sin^22\alpha}$
rovnice nakloněné roviny v dané soustavě je $y=-x\tan\alpha$

Řešením rovnice $x\,\text{cotg}2\alpha-\frac{gx^2}{2v_0^2\sin^22\alpha}=-x\tan\alpha$ dostaneme x-ovou souřadnici bodu dopadu na rovinu. Tady si musíš trochu pohrát s goniometrickými funkcemi, ale mělo by ti vyjít
$x=\frac{2v_0^2\sin2\alpha}{g}$ (druhý kořen $x=0$ nás nezajímá)
a s využitím $v_0^2=2gh$ dostaneš $x=4h\sin2\alpha$
délka $l=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2+x^2\tan^2\alpha}$
a po troše goniometrických úprav dostaneš výsledek