Matematické Fórum

Kart · 14. 11. 2020 14:51

Ahojte. Mohli by ste mi pomôcť s úlohou. Viem tie podmienky lineárnity zobrazenia, ale stále nemôžem pochopiť ako potrebujem ich používať.
α je zobrazenie R^4-->R^3. Dané predpisom:
x1
α : x2 --> x1+x3-x2-x4
x3 2x2-x1-x3
x4 3x2-3x4
Dokážte, že zobrazenie α je lineárne.

Pomeranc · 14. 11. 2020 15:07

↑ Kart:

Ahoj,

z R^4 si vezmi dva vektory
$y = (y_{1},y_{2},y_{3},y_{4})$ , $z = (z_{1},z_{2},z_{3},z_{4})$
a dosaď to do definice.

Kart · 14. 11. 2020 15:20

↑ Pomeranc:
α(ay+bz)=aαy+bαz , kde a,b є R toto potrebujem dokázať.
Môžem to dokázať takto?
α(ay+bz)=αay+αbz=aαy+bαz
Či keď zobrazenie α je matica 3×4. Napríklad to bude matica A
α(ay+bz)=αay+αbz=Aay+Abz=aAy+bAz=aαy+bαz

Pomeranc · 14. 11. 2020 19:59

↑ Kart:

A proč si to dělat zbytečně složitější?
Prostě tam dosaď.

Na tu matici by jsi se neměl tak moc upínat, i když toto zobrazení lze zapsat maticí.
Jsou i lineární zobrazení, pro která by se matice hledala opravdu těžko.

Kart · 14. 11. 2020 20:10

↑ Pomeranc:
Ja to tak komplikujem, pretože neviem prísť na to, či je to dostatočný dôkaz
α(ay+bz)=αay+αbz=aαy+bαz

Pomeranc · 15. 11. 2020 00:21

↑ Kart:

Ano, je to dostatečný důkaz, protože pokud první rovnost platí, tak zobrazení je aditivní.
Pokud platí druhá rovnost, tak platí u zobrazení vytýkání skaláru ze zobrazení.
Tedy celkově by byla splněna analogická definice lineárního zobrazení (viz.wikipedie).

Nicméně, je to zbytečně komplikované, chceš dokázat, že platí α(ay+bz)=aαy+bαz.
Tak do tohoto dosaď a zjisti, zda platí PS=LS. Vlastně si ušetříš práci, protože budeš ověřovat jenom jednu rovnost a ne dvě.

Kart · 15. 11. 2020 15:09

↑ Pomeranc:
Díky moc

Matematické Fórum

#1 14. 11. 2020 14:51

Lineárne zobrazenie

#2 14. 11. 2020 15:07

Re: Lineárne zobrazenie

#3 14. 11. 2020 15:20

Re: Lineárne zobrazenie

#4 14. 11. 2020 19:59

Re: Lineárne zobrazenie

#5 14. 11. 2020 20:10

Re: Lineárne zobrazenie

#6 15. 11. 2020 00:21

Re: Lineárne zobrazenie

#7 15. 11. 2020 15:09

Re: Lineárne zobrazenie

Zápatí