Matematické Fórum

2M70 · 15. 11. 2020 22:47

Mám příklad:

Pro bilineární formu g na R^3 zadanou předpisem

g(x.y) = 2 x1y1 – 2 x1y2 + 4 x1y3 - 2 x2y1 + 3 x2y2 -3 x2y3 + 4 x3y1 – 3 x3y2 + 9 x3y3

Najděte její polární bázi a rozhodněte, zda se jedná o skalární součin.

Můj pokus o řešení:

Matice bilineární formy je:
( 2 -2 4)
(-2 3 -3)
( 4 -3 9)

K ní připíšu napravo jednotkovou matici a provádím symetrické úpravy - tedy řádkové úpravy dělám pro obě části rozšířené matice, zatímco odpovídající sloupcové úpravy jen na levé části.

Vychází mi

(2 0 0 | 1 0 0)
(0 1 0 | 1 1 0)
(0 0 0 |-3 -1 1)

Tedy polární báze – čtu po řádcích – ((1,0,0), (1,1,0), (-3,-1,1)).

Diagonalizovaná matice bilineární formy má na diagonále 2, 1, 0, není pozitivně definitní. Proto nemůže být skalárním součinem.

Jsou mé úvahy správné? Resp. nemám nějaké chyby ve výpočtech?

vanok · 17. 11. 2020 16:37

Ahoj ↑ 2M70:,
Mozes upresnit, co znamena pojem polarna baza?

Ma to suvis z polarnou formov, asociovanov k symetrickej kvadradickej forme?

2M70 · 17. 11. 2020 16:55

Ahoj ↑ vanok:,

brali jsme to v kapitole o skalárním součinu, jako definici:

Je-li V vektorový prostor a g...symetrická bilineární resp. hermiteovská seskvilineární forma na něm. Pak bázi B' = $(u'_{i})^{n}_{1}$ ve V nazýváme polární báze formy g, pakliže je matice $[g]_{B'}$ diagonální.

Z této části (kapitola o skalárním součinu) je zadán příklad. Proto taky druhá otázka zkoumá vlastnosti skalárního součinu (= bilineární symetrická/seskvilieneární hermiteovská pozitivně definitní forma)

Ale je to i v kapitole o kvadratických formách:

Polární báze kvadratické formy je definována jako polární báze příslušné symetrické bilineární formy g, tedy taková B', že $[g]_{B'}$ je diagonální. Z věty (...) víme, že polární báze existuje a umíme ji nalézt symetrickými úpravami, tedy vlastně hledáním matice přechdu $R=[Id]^{B}_{B'}$ takové, že $G':=R^{T}GR$ je diagonální.

Tolik teorie.

Matematické Fórum

#1 15. 11. 2020 22:47

Polární báze bilineární formy

#2 17. 11. 2020 16:37

Re: Polární báze bilineární formy

#3 17. 11. 2020 16:55

Re: Polární báze bilineární formy

Zápatí