Matematické Fórum

2M70 · 17. 11. 2020 18:55

Ahoj,

jedná se o barometrickou formuli. Všude v literatuře a na internetu je uváděna ve tvaru

$p=p_{0}exp(-\frac{\varrho _{0}}{p_{0}}gh)$

Já ji však potřebuji ve tvaru

$\varrho =\varrho _{0}exp(-\frac{\varrho _{0}}{p_{0}}gh)$

Už jsem našel skoro-řešení, ovšem tam byl člen $\frac{\varrho _{0}}{p_{0}}$ označen $m.\beta$ a mně se nedaří zdůvodnit, jak jsem vzal $\frac{\varrho _{0}}{p_{0}}$ - to neplyne z řešení výsledné diferenciální rovnice, ale je v ní obsaženo ještě před jejím řešením (tj. integrací).

Možná je to prkotina, ale nedaří se mi na to přijít.

Mirek2 · 17. 11. 2020 20:37

Viz str. 26
http://fyzikalniolympiada.cz/texty/plyny.pdf

2M70 · 17. 11. 2020 21:02

↑ Mirek2:

Díky za skvělý tip! Vynikající text!

Jen nevím, jestli nemám blbě zadaný příklad - píše se v něm totiž, že

"pro plyn platí stavová rovnice

$\frac{p\cdot \varrho }{\vartheta }\text{=konst.}$

kde teplota $\vartheta$ je konstantní, systém je izotermní"

Připadá mi, že ten tlak a hustota mají být v podílu, nikoli v součinu.

MichalAld · 17. 11. 2020 22:17

stavová rovnice plynů je pV=nkT, takže pV/T = const.
Z toho si můžeš zbytek odvodit.

2M70 · 17. 11. 2020 22:23

↑ MichalAld:

Právě že $V=\frac{m}{\varrho }$ , tím se mi "ró" dostává do jmenovatele, to mě mate.

Mirek2 · 18. 11. 2020 10:45

↑ 2M70:
V zadání je patrně chybička, má být [mathjax]p/(\varrho T)= [/mathjax] konst.

2M70 · 18. 11. 2020 11:12

↑ Mirek2:

Díky za potvrzení, bylo mi to divné a pořád to nějak nevycházelo.

2M70 · 18. 11. 2020 13:49

Tak to zadání bylo opravdu špatně.

2M70 · 18. 11. 2020 16:32

Ta úloha má ještě háček:

Má se určit hmotnost plynu.

má se uvažovat plyn v kvádru o podstavě a * a = a^2, a výšce h.

Našel jsem řešení "skoro stejného" příkladu, kde plyn je ve válci o podstavě pí.a^2,

řešení tohoto příkladu je:

$\frac{\pi a^{2}\cdot p_{0}}{g}\cdot [1-exp(-\frac{\varrho _{0}}{p_{0}}gh)]$

když provedu "rozměrovou analýzu", vychází mi z toho ten zlomek před závorkou jako

$\frac{S.p}{g}=\frac{F}{g}=m$ , rozměrově by to tedy měla být opravdu hmotnost.

Když vezmu $p_{0}$ před závorkou, vychází mi to, vynásobeno závorkou,

$p=p_{0}-p_{0}exp(-\frac{\varrho _{0}}{p_{0}}gh)$ , tedy srovnatelné s definicí tlaku $p=p_{0}-\varrho gh$ .

Celkově by to tedy asi mělo vyjít

$m=\frac{a^{2}\cdot p_{0}}{g}\cdot [1-exp(-\frac{\varrho _{0}}{p_{0}}gh)]$

Ale mate mě to, že je příklad uveden v sadě, věnované vícenásobným integrálům, když přitom k řešení v podstatě stačí diferenciální rovnice se separova(tel)nými proměnnými.

Jsou moje úvahy aspoň trochu správné? Uvítám jakékoli podněty, včetně zdrcující kritiky :-)

Předem díky!

Mirek2 · 18. 11. 2020 19:05

↑ 2M70:
Kvádr vzduchu rozdělíme na vrstvičky o malé výšce d[mathjax]h[/mathjax].
Vypočítáme objem d[mathjax]V[/mathjax] této vrstvičky a její hmotnost d[mathjax]m[/mathjax].
Vztah pro d[mathjax]m[/mathjax] se pak integruje. Stačí tak?

2M70 · 18. 11. 2020 20:52

↑ Mirek2:

Tím mám $\int_{}^{}dm=\int_{}^{}\varrho dV=\int_{}^{}\varrho Sdh=\int_{}^{}\varrho a^{2}dh$

Ještě mám zadaný vztah

$p(z)=\int_{z}^{h}\varrho (z\sim )\cdot g\cdot d(z\sim )$ , kde $(z\sim )$ je "z" s vlnkou nahoře, tedy "pomocná proměnná".

Teď jde o to, nějak to zkombinovat, abych došel k tomu vztahu

$m=\frac{a^{2}\cdot p_{0}}{g}\cdot [1-exp(-\frac{\varrho _{0}}{p_{0}}gh)]$ .

Napadá mě pomocný vztah (bez diferenciálů) $\varrho =\frac{p\cdot a^{2}}{g}$
resp. $p=\frac{\varrho g}{a^{2}}$

Mirek2 · 19. 11. 2020 11:51 — Editoval Mirek2 (19. 11. 2020 19:16)

↑ 2M70:
První řádek - přesně tak, ještě dosadit za hustotu
$\varrho=\varrho_0 exp(-\frac{\varrho_0}{p_0}gh)$
a vypočítat integrál pro meze od 0 do h.

Integrace se zpřehlední, když označíme
$-\frac{\varrho_0}{p_0}g=k$

Poznámka: Možná jsem měl navrhnout označit svislou osu x (nebo y), pak tedy dx (nebo dy) místo dh. Tak je to obvyklé v matematice.
V zadání je koukám svislá osa označena z. Ale to je jedno.

2M70 · 19. 11. 2020 21:04

Teď koukám, že tam mám blbosti.

$\varrho =\frac{p\cdot a^{2}}{g}$ je blbost, výraz není roven hustotě, ale hmotnosti (m).

Tím pádem je vztah $p=\frac{\varrho g}{a^{2}}$ taky blbě.

2M70 · 19. 11. 2020 21:28

↑ Mirek2:

Takže

$\int_{}^{}dm=\int_{}^{}\varrho a^{2}dh=\int_{}^{}a^{2}\varrho _{0}exp(-kh)dh=a^{2}\varrho _{0}\int_{}^{}exp(-kh)dh=-\frac{a^{2}\varrho _{0}}{k}[exp(-kh)]$

$a^{2}\varrho _{0}\int_{0}^{h}exp(-kh)dh=-\frac{a^{2}\varrho _{0}}{k}[exp(-kh)]^{h}_{0}=-\frac{a^{2}\varrho _{0}}{k}[(exp(-kh))-1]=\frac{a^{2}\varrho _{0}}{k}[1-(exp(-kh))]=$

$\frac{a^{2}\varrho _{0}\cdot p_{0}}{\varrho _{0}\cdot g}[1-(exp(-\frac{\varrho _{0}}{p_{0}}gh))]=\frac{a^{2}p_{0}}{g}[1-(exp(-\frac{\varrho _{0}}{p_{0}}gh))]$

Vychází to celkem rozumně, snad tam nemám moc chyb.

Mirek2 · 20. 11. 2020 12:41

↑ 2M70:
To je nejspíš dobře.
Já používám substituci [mathjax]t=-kh[/mathjax], tedy [mathjax]dt=-k\cdot dh[/mathjax]. Odtud se vyjádří [mathjax]dh[/mathjax] a dosadí.

2M70 · 20. 11. 2020 14:09

↑ Mirek2:

Porovnal jsem výsledný vztah se vztahem pro válec, a podle mě to vychází - akorát válec má podstavu pí.a^2, kdežto kvádr a^2, jinak se to neliší.

Mirek2 · 20. 11. 2020 14:13

↑ 2M70:
Ano, myslím, že je to takhle dobře.

2M70 · 20. 11. 2020 15:18

↑ Mirek2:

Díky moc za účinnou pomoc, hlavně za odkaz na skvělé stránky a za vztah pro hmotnost plynu!!!

Matematické Fórum

#1 17. 11. 2020 18:55

Barometrická formule

#2 17. 11. 2020 20:37

Re: Barometrická formule

#3 17. 11. 2020 21:02

Re: Barometrická formule

#4 17. 11. 2020 22:17

Re: Barometrická formule

#5 17. 11. 2020 22:23

Re: Barometrická formule

#6 18. 11. 2020 10:45

Re: Barometrická formule

#7 18. 11. 2020 11:12

Re: Barometrická formule

#8 18. 11. 2020 13:49

Re: Barometrická formule

#9 18. 11. 2020 16:32

Re: Barometrická formule

#10 18. 11. 2020 19:05

Re: Barometrická formule

#11 18. 11. 2020 20:52

Re: Barometrická formule

#12 19. 11. 2020 11:51 — Editoval Mirek2 (19. 11. 2020 19:16)

Re: Barometrická formule

#13 19. 11. 2020 21:04

Re: Barometrická formule

#14 19. 11. 2020 21:28

Re: Barometrická formule

#15 20. 11. 2020 12:41

Re: Barometrická formule

#16 20. 11. 2020 14:09

Re: Barometrická formule

#17 20. 11. 2020 14:13

Re: Barometrická formule

#18 20. 11. 2020 15:18

Re: Barometrická formule

Zápatí