Matematické Fórum

2M70 · 16. 11. 2020 14:53 — Editoval 2M70 (16. 11. 2020 14:59)

Vím, že se vůbec nemají pokládat prosté otázky bez náznaku odpovědi, nicméně nevím si rady s tímhle:

Matici $A\in \mathbb{C}^{nxn}$ nazýváme antihermitovskou, pakliže splňuje podmínku $A^{+}=-A$ .

Ukažte, že každou antihermitovskou matici A lze napsat jako A = iB, kde B je hermitovská matice.

Vím jen, že hermitovská matice má mimodiagonální elementy komplexně sdružené, ale nevím, jak je to v případě antihermitovské matice.

Pokud jde o důkaz, jak mám zvolit matice A, B, aby to bylo co nejjednodušší, a zda stačí matice 2x2 nebo 3x3?

Díky za jakoukoli radu, nápad.

laszky · 16. 11. 2020 18:51

↑ 2M70:

Ahoj. Ukaz ekvivalenci: $\mathbb{A}\ \mbox{antihermitovská}\;\;\Leftrightarrow\;\;i\mathbb{A}\ \mbox{hermitovská}$

Muzes napr. zacit takto: Necht A je antihermitovska (tj. $\mathbb{A}^{*}=-\mathbb{A}$ ), pak

$(i\mathbb{A})^{*} = ((i\mathbb{E})\mathbb{A})^{*} = \mathbb{A}^{*}(i\mathbb{E})^{*}=\cdots$

2M70 · 16. 11. 2020 19:11

↑ laszky:

Díky, zkusím se na to podívat. Jinak, můžu si pomoci nějakou konkrétní maticí, nebo mám postupovat obecně?

2M70 · 16. 11. 2020 22:28

Napadá mě toto:

A* ... antihermitovská, A* = - A
(iA)* ... hermitovská, (iA)* = A

sečtu:

A* + (iA)* = 0

přehodím na opačnou stranu:

A* = - (iA)*

levá strana: antihermitovská matice: A* = - A
pravá strana: hermitovská matice: -i . (A)* = -i. A, což můžu přeznačit na -i . B

tedy

-A = - i. B
A = i.B

Ale je to spíš úvaha. Rozhodně by to chtělo přinejmenším "učesat".

laszky · 16. 11. 2020 23:44

↑ 2M70:

Ahoj, jednak pokud je matice iA hermitovska, potom $(i\mathbb{A})^{*}=i\mathbb{A}$ ,

ty tam (nevim proc) mas (iA)*=A. Navic, toto obecne neplati:

$(i\mathbb{A})^{*}\neq i\mathbb{A}^{*}$

Zkus si vzit treba matici 1x1: $\mathbb{A}=i$ , pak

$(i\mathbb{A})^{*}=(i^2)^{*}=(-1)^{*}=-1$

kdezto

$i\mathbb{A}^{*}=i(i)^{*}=i\cdot\overline{i}=i(-i)=-i^2=1$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

2M70 · 17. 11. 2020 15:13

↑ laszky:

Moc se omlouvám, ale moc nerozumím zavádění jednotkových matic (E) do výpočtů.

laszky · 17. 11. 2020 19:32 — Editoval laszky (17. 11. 2020 20:29)

↑ 2M70:

To tam je proto, ze operator hermitovske transpozice se pouziva u matic, ne u cisel. Ale jde to i bez toho.

2M70 · 17. 11. 2020 20:28

↑ laszky:

Došel jsem ke sporu:

když vezmu 1x1 matici A = i, tak dostávám

$(i\mathbb{A})^{*}=(i^2)^{*}=(-1)^{*}=-1=iA$

Tedy vztah platný pouze pro hermiteovskou matici.

Naproti tomu, když vezmu 1x1 matici A = 1, dostanu

$(iA)^{*}=(i\cdot 1)^{*}=(i)^{*}=-i=-i\cdot A$

což již vyhovuje podmínce pro antihermiteovskou matici $(i\mathbb{A})^{*}=-i\mathbb{A}$

laszky · 17. 11. 2020 20:32

↑ 2M70:

Jaky v tom je spor? Spor s cim?

2M70 · 17. 11. 2020 20:37

↑ laszky:

Spor mezi tím, že když vezmu jednu matici 1x1, dostanu vztah platný pro hermiteovskou matici, zatímco zvolím-li jinou matici 1x1, tak již té podmínce pro antihermiteovskou matici vyhovuje. To je ten spor.

laszky · 17. 11. 2020 20:46

↑ 2M70:

Takze tim vlastne tvrdis, ze existuji hermiteovske a antihermitovske matice? To neni spor, ne?

2M70 · 17. 11. 2020 20:53

↑ laszky:

Máš pravdu, to mi nedošlo, a žádný spor v tom vlastně není.

Překvapilo mě ale, že při Tvém dokazování $(i\mathbb{A})^{*}=i\mathbb{A}$ , ve vztahu

$(i\mathbb{A})^{*} = ((i\mathbb{E})\mathbb{A})^{*} = \mathbb{A}^{*}(i\mathbb{E})^{*}= -\mathbb{A}(i\mathbb{E})^{*}=-\mathbb{A}(-i\mathbb{E})=-\mathbb{A}(-i)=i\mathbb{A}$ ,

který vede k důkazu, že iA je hermiteovská (stačí porovnat výrazy na začátku a na konci rovnice), používáš předpoklad, že A je antihermiteovská, tedy $\mathbb{A}^{*}=-\mathbb{A}$

laszky · 17. 11. 2020 22:44

↑ 2M70:

No vzdyt taky dokazuju implikaci (A antihermitovska) => (iA hermitovska). Zkus dokazat opacnou implikaci.

2M70 · 18. 11. 2020 11:41

↑ laszky:

Mám tedy vymyslet podobnou rovnici, jako je

$(i\mathbb{A})^{*} = ((i\mathbb{E})\mathbb{A})^{*} = \mathbb{A}^{*}(i\mathbb{E})^{*}= -\mathbb{A}(i\mathbb{E})^{*}=-\mathbb{A}(-i\mathbb{E})=-\mathbb{A}(-i)=i\mathbb{A}$ ,

ale s tím rozdílem, aby pro členy "úplně vlevo" a "úplně vpravo" platilo $(i\mathbb{A})^{*}=-i\mathbb{A}$ ?

laszky · 18. 11. 2020 11:58

↑ 2M70:

Nn, predpokladej, ze iA je hermitovska a dokaz, ze A je antihermitovska. Takze zacnes $\mathbb{A}^{*}=\cdots$ a skoncis $\cdots=-\mathbb{A}$ . Behem toho nekde vyuzijes, ze iA je hermitovska.

2M70 · 18. 11. 2020 13:14

↑ laszky:

Tedy $(ia)^{*}=((iE)^{*}=A^{*}(iE)^{*}=A(iE)^{*}=A(-iE)=A(-i)=-iA$

Přitom jsem použil, že iA je hermiteovská.

Tj. "napravo a nalevo" $(i\mathbb{A})^{*}=-i\mathbb{A}$ .

Teď jde ještě o to, jak "dostatečně vědecky" tyto výpočty obhájit a dostat tu "chtěnou" rovnost A = iB.

laszky · 18. 11. 2020 14:17

↑ 2M70:

To neni dobre, spravne to je:

$(\mathbb{A})^{*} = (-i(i\mathbb{A}))^{*} = ((-i\mathbb{E})(i\mathbb{A}))^{*} = (i\mathbb{A})^{*}(-i\mathbb{E})^{*} = (i\mathbb{A})(i\mathbb{E}) = i\mathbb{A}\cdot i = i^2\mathbb{A} = -\mathbb{A}$

2M70 · 18. 11. 2020 14:23

↑ laszky:

Ahoj, díky, moc jsi mi pomohl! Děkuji Ti za trpělivost a vstřícnost!

Matematické Fórum

#1 16. 11. 2020 14:53 — Editoval 2M70 (16. 11. 2020 14:59)

Antihermitovská matice

#2 16. 11. 2020 18:51

Re: Antihermitovská matice

#3 16. 11. 2020 19:11

Re: Antihermitovská matice

#4 16. 11. 2020 22:28

Re: Antihermitovská matice

#5 16. 11. 2020 23:44

Re: Antihermitovská matice

#6 17. 11. 2020 15:06 Příspěvek uživatele 2M70 byl skryt uživatelem 2M70.

#7 17. 11. 2020 15:13

Re: Antihermitovská matice

#8 17. 11. 2020 19:32 — Editoval laszky (17. 11. 2020 20:29)

Re: Antihermitovská matice

#9 17. 11. 2020 20:28

Re: Antihermitovská matice

#10 17. 11. 2020 20:32

Re: Antihermitovská matice

#11 17. 11. 2020 20:37

Re: Antihermitovská matice

#12 17. 11. 2020 20:46

Re: Antihermitovská matice

#13 17. 11. 2020 20:53

Re: Antihermitovská matice

#14 17. 11. 2020 22:44

Re: Antihermitovská matice

#15 18. 11. 2020 11:41

Re: Antihermitovská matice

#16 18. 11. 2020 11:58

Re: Antihermitovská matice

#17 18. 11. 2020 13:14

Re: Antihermitovská matice

#18 18. 11. 2020 14:17

Re: Antihermitovská matice

#19 18. 11. 2020 14:23

Re: Antihermitovská matice

Zápatí