Matematické Fórum

janule.baci · 11. 06. 2009 10:46

Rozdíl druhé mocniny dvojciferného čísla a dvaadvacetinásobku jeho ciferného součinu se rovná 400. Zaměníme-li pořadí cifer a od druhé mocniny takto vzniklého opět dvojciferného čísla odečteme jeho ciferný součin vynásobený 208, dostneme číslo 100. Urči toto dvojciferné číslo. Děkuji za pomoc

ttopi · 11. 06. 2009 10:49

Mě vychází takováto soustava:
$(10x+y)^2-22xy=400\nl(10y+x)^2-208xy=100$

halogan · 11. 06. 2009 10:49

Mějme číslo ab (ne násobek, ale jako první cifra a, druhá cifra b), je dvojciferné, takže to je vlastně 10a + b. Např. 63 je 6*10 + 3, a = 6, b = 3.

Rozdíl druhé mocniny dvojciferného čísla a dvaadvacetinásobku jeho ciferného součinu se rovná 400.

|(10a + b)^2 - 20ab| = 400

Zaměníme-li pořadí cifer a od druhé mocniny takto vzniklého opět dvojciferného čísla odečteme jeho ciferný součin vynásobený 208, dostneme číslo 100.

(10b + a)^2 - 208ab = 100

---

Rozumíme si?

janule.baci · 11. 06. 2009 15:35

k této rovnici jsem došla, ale nevím jak dál.

halogan · 11. 06. 2009 15:49

Vyjádři si jednu neznámou a dosaď do druhé rovnice. Jinak vyjádření je zde trochu jiné, než obvykle, protože každá neznámá tam je na druhou. Musíš tedy využít znalosti kvadratických funkcí (jednu neznámou jako neznámou, druhou jako "parametr")

janule.baci · 11. 06. 2009 15:57

taková teorie me taky napadla ale nevim jak to mam udelat, nemuzes mi to napsat?

musixx · 11. 06. 2009 16:00

↑ halogan: To je pomerne komplikovane na to, ze vime, ze jde o diofanticke rovnice a s jeste velmi omezenym rozsahem pro nezname.

↑ ttopi: Je nutne uvazovat absolutni hodnotu, jako to udelal ↑ halogan:, i kdyz se brzo ukaze, ze ji vlastne nepotrebujeme.

Ja bych na reseni rovnic sel takto:

Je-li a=0, pak prvni rovnice dava |b^2|=400, coz je mimo (b je cifra).

Je-li a=1, pak druha rovnice dava 100b^2-188b=99, ale diskriminant teto rovnice pro b neni druha mocnina celeho cisla, takze b neni cele - netreba resit.

Je tedy a>1.

Prvni rovnice upravena dava |100a^2 + b^2 - 2ab| = 400.

a a b jsou cifry, tedy ab <= 9*9 = 81, tedy 2ab < 163. Kdyby a>2, pak 100a^2 >= 900, b^2 to jeste zvetsi a odecist nanejvys 162 to stejne nesnizi zpet na 400.

Mame-li tedy vubec nejake reseni, pak je a=2. No a ted najit, ze b=4 je uz hracka.

Chrpa · 11. 06. 2009 16:43 — Editoval Chrpa (12. 06. 2009 09:23)

↑ ttopi:
Tak budeme pokračovat:
$(10x+y)^2-22xy=400\nl100x^2+20xy-22xy+y^2=400\nl100x^2-2xy+y^2=400$
$(10y+x)^2-208xy=100\nl100y^2+20xy-208xy+x^2=100\nl100y^2-188xy+x^2=100$ vynásobíme 4 a porovnáme s první rovnicí a po úpravách dospějeme k této rovnici:
$32x^2+250xy-133y^2=0$ celou rovnici vydělíme $y^2$ (Můžeme,protože x,y <> 0, kdyby totiž x,y = 0, potom by to nebylo dvojciferné číslo a bylo by to v rozporu se zadáním)
$32\left(\frac xy\right)^2+250\left(\frac xy\right)-133=0$ substituce $\frac xy=a$
$32a^2+250a-133=0\nla_1=\frac 12\nla_2=-\frac{133}{16}\,\rm{ne}$ pokud druhý kořen dosadíme do substituce, potom x,y nebudou celá čísla Vratka k substituci:
$\frac xy=\frac 12\nly=2x$ dosadíme do první rovnice a vypočítáme x
$(10x+2x)^2-22x\cdot 2x=400\nl144x^2-44x^2=400\nl100x^2=400\nlx^2=4\nlx=\pm 2$ dopočítáme y
$y=2x\nly=\pm 4$
Jedná se o číslo $\pm\,24$

musixx · 11. 06. 2009 16:47 — Editoval musixx (11. 06. 2009 16:49)

↑ Chrpa: Ano, pokud predem overime, ze y=0 neni nami hledane reseni. A take by se mela udelat nejaka uvaha ohledne te absolutni hodnoty v prvni rovnici.

EDIT: I kdyz ohledne te absolutni hodnoty je otazka, jak je to v zadani mysleno. Soustava
22ab - (10a+b)^2 = 400
(10b+a)^2 - 208ab = 100
stejne nema pro a,b \in {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} reseni.

svobis · 11. 06. 2009 18:43

a máš to petko

Chrpa · 11. 06. 2009 22:16 — Editoval Chrpa (12. 06. 2009 08:21)

↑ musixx:
x,y <> 0, protože kdyby x,y = 0, potom by to nebylo dvojciferné číslo
a bylo by to v rozporu se zadáním. Proro můžeme klidně dělit y^2
Teď, když nad tím přemýšlím, tak hledané číslo může být: $\pm\,24$

musixx · 12. 06. 2009 08:39

↑ Chrpa: Argument o dvojcifernosti plati pro x, takze to y=0, ktere potrebujeme vyloucit, je treba skutecne overit zvlast.

halogan · 12. 06. 2009 08:48

↑ musixx:

Zaměníme-li pořadí cifer a od druhé mocniny takto vzniklého opět dvojciferného čísla...

musixx · 12. 06. 2009 08:57

↑ halogan: Tak to jo. Tento argument by mel byt soucasti reseni v miste, kde ↑ Chrpa: deli y^2.

Chrpa · 12. 06. 2009 09:05

↑ musixx:
Tak jsem tu poznámku dal do svého řešení a tím je to myslím uzavřeno.

Matematické Fórum

#1 11. 06. 2009 10:46

Soustava rovnic

#2 11. 06. 2009 10:49

Re: Soustava rovnic

#3 11. 06. 2009 10:49

Re: Soustava rovnic

#4 11. 06. 2009 15:35

Re: Soustava rovnic

#5 11. 06. 2009 15:49

Re: Soustava rovnic

#6 11. 06. 2009 15:57

Re: Soustava rovnic

#7 11. 06. 2009 16:00

Re: Soustava rovnic

#8 11. 06. 2009 16:43 — Editoval Chrpa (12. 06. 2009 09:23)

Re: Soustava rovnic

#9 11. 06. 2009 16:47 — Editoval musixx (11. 06. 2009 16:49)

Re: Soustava rovnic

#10 11. 06. 2009 18:43

Re: Soustava rovnic

#11 11. 06. 2009 22:16 — Editoval Chrpa (12. 06. 2009 08:21)

Re: Soustava rovnic

#12 12. 06. 2009 08:39

Re: Soustava rovnic

#13 12. 06. 2009 08:48

Re: Soustava rovnic

#14 12. 06. 2009 08:57

Re: Soustava rovnic

#15 12. 06. 2009 09:05

Re: Soustava rovnic

Zápatí