Matematické Fórum

VelkyBratr

Zdravím, už delší dobu si lámu hlavu s jedním příkladem, přes který se nemůžu dostat. Napřed musím načrtnout těleso G, což není problém.Je to kvádr s x od -1 do 1, y od -2 do 2, z od -3 do 3, ovšem ještě platí, že x^2 + y^2>1/4, čili kvádr má díru ve tvaru válce o poloměru 1/2. A z této oblasti G musím vypočítat [mathjax]\int_{}^{}\int_{}^{}\int_{}^{} x^{2}+y^{2}d(x,y,z)[/mathjax]. Za případnou pomoc budu velice rád.

Pomeranc · 20. 11. 2020 18:22

↑ VelkyBratr:

Ahoj,

nešlo by zintegrovat to přes kvádr a odečíst od toho zintegrování přes ten válec?

VelkyBratr · 20. 11. 2020 18:30

↑ Pomeranc: Jasně, že by to šlo, ale obávám se, že to není přemět toho, co je po mě žádáno, tj. trojtý integrál dané funkce dané oblasti. Problém je v tom, jak zjistit potřebné meze v integrálech.

surovec

↑ VelkyBratr:
$8\left(\int_0^1 \int_0^2 \int_{0}^3 1 \, \mathrm{d}z\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}x- \int_0^{\frac{1}{2}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^3 r \, \mathrm{d}z\, \mathrm{d}\varphi \, \mathrm{d}r\right)$

VelkyBratr

↑ surovec:

Této odpovědi si samozřejmě velmi cením a děkuji Vám za ni, ale mně šlo o to jak se k takovému výsledku dostat. Jak se z [mathjax]\int_{}^{}\int_{}^{}\int_{} x^{2} + y^{2} d(x,y,z)[/mathjax] dostaneme v Vašemu závěru.

surovec

↑ VelkyBratr:
Těleso lze rozdělit na 8 shodných částí. Každá z nich vznikne oddělením čtvrtválce (druhý integrál) od kvádru (první integrál). Teď ale koukám, že byla zadaná také hustota (ta naštěstí je symetrická od osy z, takže pořád platí to rozdělení na osm částí), takže v prvním integrálu je místo jedničky ta hustota, v druhém integrálu je Jakobián vynásobený transformovanou hustotou (1/4).
$8\left(\int_0^1 \int_0^2 \int_{0}^3 x^2+y^2 \, \mathrm{d}z\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}x- \int_0^{\frac{1}{2}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^3 \frac{1}{4}\cdot r \, \mathrm{d}z\, \mathrm{d}\varphi \, \mathrm{d}r\right)$

MichalAld · 20. 11. 2020 20:08

Důkaz že integrál z kvádru s dírou uprostřed lze získat jako integrál z kvádru bez díry - integrál přes tu díru, to tak nějak plyne přímo z definice toho, co to integrál je ...

Pokud ti to není intuitivně jasné, tak se zamysli nejdřív nad jednoduchým integrálem, například zdali

$\int_1^3{x^2 dx} = \int_1^2{x^2 dx} + \int_2^3{x^2 dx}$

Případně jestli můžeme plochu velkého trojúhelníku spočítat tak, že ho rozstřihneme na dvě části, spočítáme plochu každé z nich a pak je sečteme.

A jak jednotlivé integrály spočítáme je už pak úplně jedno ... takže samozřejmě integrál válcové oblasti se zpravidla řeší převedením do válcových souřadnic (protože pak má konstantní meze).

VelkyBratr · 20. 11. 2020 20:10

↑ surovec: No vida, to jsem ani nevěděl, že ta fukce ve skutečnosti představuje hustotu. Děkuju mnohokrát. Jen se radši ještě pro jistotu zeptám: ten determinant z jakobiánu se vypočte klasicky se substitučního pravidla pro válec, že ano?

surovec · 20. 11. 2020 20:16

↑ VelkyBratr:
Jakobián už je sám o sobě determinant. U základních transformací (jako jsou třeba zde válcové) je dobré to znát zpaměti, u méně obvyklých spočteš jako determinant matice parciálních derivací dané transformace.

VelkyBratr

↑ MichalAld: To je mi jasný v jednoduchých integrálech. Jenom jsem si nebyl jistej, jestli to samý platí i pro takový integrály s "navíc" funkcí unvitř. Když chceš totiž vypočítat objem tělesa(při nejlepším kvádr), stačí ti snad jenom meze těch 3 integrálů, popřípadě s jakobiánem uvnitř po převodu na polárních souřadnice, pokud se nepletu. Jakožto pro totálního nováčka v této látce mi naprosto nebylo jasný, co s tím, když je v tom trojtým integrálu ještě nějaká random funkce. Ale myslím, že už to chápu. Děkuju.

surovec · 20. 11. 2020 20:35

↑ VelkyBratr:
Ta funkce uvnitř vyjadřuje rozložení hustoty v tělese a celý integrál pak jeho hmotnost. Takže když odřízneš kus tělesa, odřízneš i příslušnou část jeho hmotnosti.

MichalAld · 20. 11. 2020 22:08

↑ VelkyBratr:

Tak ono u 1D integrálu je to úplně stejné, když spočítáš integrál $\int_1^5{dx}$ tak je to délka čáry od 1 do 5. Pokud je tam nějaká funkce, tak je to plocha ohraničená tou funkcí.

U 3D integrálu je to úplně stejné ... akorát na představu té funkce bychom potřebovali čtvrtý rozměr, který nemáme ... takže 3D integrál nějaké funkce je prostě "nadobjem" ohraničený "nadplochou".

Samozřejmě, u 1D integrálu jsou ty meze jen 2 čísla, u 2D integrálu je to nějaká více či méně komplikovaná uzavřená křivka, u 3D je to ohraničující plocha ... čím vyšší stupeň integrálu, tím jsou ty meze obecně komplikovanější problém.

VelkyBratr · 20. 11. 2020 22:17

↑ MichalAld: Obávám, že úplně stejné to rozhodně není, resp. je to při nejmenším zatraceně matoucí záležitost. V 1D integrálu je jedno, jestli tam je fuknce nebo ne. Výsledkem bude vždy plocha pod křivkou.
Ale pokud se nemýlím(což je více než pravděpodobné), tak pokud ve 3D integrálu není žádná funkce, výsledkem je objem. Pokud v tom integrálu je nějaká funkce(hustota), výsledkem je hmotnost. Říkám to správně?

MichalAld · 21. 11. 2020 08:05

↑ VelkyBratr:

Ono to nejde, aby tam "nebyla žádná funkce" - když tam nic není, tak je tam jednička (konstanta).

Takže ano, u 1D integrálu je to plocha pod "křivkou" - čárou ve výšce 1 - což odpovídá délce té křivky (osy x mezi mezemi)

U 2D integrálu je to objem pod rovinou ve výšce 1 - což zase odpovídá velikosti ohraničující plochy

U 3D integrálu je to nadobjem pod nadplochou ve výšce 1 - což odpovídá objemu tělesa uvnitř ohraničující plochy

Hustotu používáme jen proto, že si 4D objem už neumíme představit, zatímco hmotnost ano - ale po matematické stránce v tom žádný rozdíl není - akorát že čím vyšší stupeň integrálu, tím hůře se nám to představuje. 4D integrál už si asi nepředstavíme vůbec - ale je to pořád stejné ...

VelkyBratr · 21. 11. 2020 11:53

↑ MichalAld: Myslím, že jsem tomu už přišel na kloub. Nicméně bude ještě nějakou tu chvilku trvat, než se mi to kompletně vryje pod kůži. Káždopádně Vám velmi děkuji za vysvětlení.

Matematické Fórum

#1 20. 11. 2020 18:06 — Editoval VelkyBratr (20. 11. 2020 18:58)

Trojný integrál- válcová díra v kvádru

#2 20. 11. 2020 18:22

Re: Trojný integrál- válcová díra v kvádru

#3 20. 11. 2020 18:30

Re: Trojný integrál- válcová díra v kvádru

#4 20. 11. 2020 18:35 — Editoval surovec (20. 11. 2020 18:35)

Re: Trojný integrál- válcová díra v kvádru

#5 20. 11. 2020 18:57 — Editoval VelkyBratr (20. 11. 2020 19:03)

Re: Trojný integrál- válcová díra v kvádru

#6 20. 11. 2020 19:47 — Editoval surovec (20. 11. 2020 19:53)

Re: Trojný integrál- válcová díra v kvádru

#7 20. 11. 2020 20:08

Re: Trojný integrál- válcová díra v kvádru

#8 20. 11. 2020 20:10

Re: Trojný integrál- válcová díra v kvádru

#9 20. 11. 2020 20:16

Re: Trojný integrál- válcová díra v kvádru

#10 20. 11. 2020 20:19 — Editoval VelkyBratr (20. 11. 2020 21:04)

Re: Trojný integrál- válcová díra v kvádru

#11 20. 11. 2020 20:35

Re: Trojný integrál- válcová díra v kvádru

#12 20. 11. 2020 22:08

Re: Trojný integrál- válcová díra v kvádru

#13 20. 11. 2020 22:17

Re: Trojný integrál- válcová díra v kvádru

#14 21. 11. 2020 08:05

Re: Trojný integrál- válcová díra v kvádru

#15 21. 11. 2020 11:53

Re: Trojný integrál- válcová díra v kvádru

Zápatí