Matematické Fórum

2M70 · 26. 11. 2020 18:59

Mám ukázat, jak vypadá obecná matice z R^2x2, která je normální, a určit její spektrum.

Pokus o řešení:

Normální matice splňuje A . A+ = A+ . A. Přitom nemusí být unitární (tj. A . A+ = E) a nemusí být ani hermiteovská (tj. A = A+).

Příkladem normální matice je
(2 -3)
(3 2)

protože
(2 -3) . (2 3) = (13 0)
(3 2) (-3 2) (0 13)

a
(2 3) . (2 -3) = (13 0)
(-3 2) (3 2) (0 13)

Spektrum je množina vlastních čísel matice, ta jsou kořeny charakteristického polynomu,
v tomto případě

| 2 – lambda, - 3 |
| 3, 2 – lambda | = (2 – lambda)^2 + 9 = 0,
Vlastní čísla 2+3i, 2-3i tvoří spektrum.

Teď jde o to, jak z toho odvodit obecný tvar a spektrum normální matice.

V tomto konkrétním případě je matice se stejnými čísly na diagonále a s členy lišící se znaménkem na vedlejší diagonále. Vlastní čísla jsou komplexně sdružená.

Ale z tohoto konkrétního asi nelze usuzovat na obecně platný závěr.

2M70 · 26. 11. 2020 20:43

Zkusil jsem pár matic a nalezl překvapivý výsledek:

(2 -1) resp. (2 1)
(1 2) (-1 2) Spektrum: 2 + i, 2 – i

(1 -3) resp. (1 3)
(3 1) (-3 1) Spektrum: 1 + 3i, 1 – 3i

(3 -4) resp. (3 4)
(4 3) (-4 3) Spektrum: 3 + 4i, 3 – 4i

(5 -4) resp. (5 4)
(4 5) (-4 5) Spektrum: 5 + 4i, 5 – 4i

Kdybych se to pokusil zobecnit, došel bych k hypotéze

(a -b) resp. (a b)
(b a) (-b a) má spektrum a + bi, a – bi.

Ale je to jen hypotéza.

Taky nevím, jestli všechny normální matice 2x2 mají tvar

(a -b) resp. (a b)
(b a) (-b a),

nebo mohou být i další.

laszky · 26. 11. 2020 20:46

↑ 2M70:

No tak kdyz [mathjax]\mathbb{A}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}[/mathjax], jaky podminky na koeficienty [mathjax]a,b,c,d[/mathjax] ziskas z rovnice [mathjax]\mathbb{A}\mathbb{A}^T=\mathbb{A}^T\mathbb{A}[/mathjax]?

2M70 · 26. 11. 2020 21:11

Když vyjádřím A^T . A = A . A^T, dostávám

(a b) (a c) = (a c) (a b)
(c d) (b d) (b d) (c d)

(a^2 + b^2 ac + bd) = (a^2 + c^2 ab + cd)
(ac + bd c^2 + d^2) (ab + cd b^2 + d^2)

Napadají mě vztahy

a^2 + b^2 = a^2 + c^2
c^2 + d^2 = b^2 + d^2
ab + cd = ac + bd

z prvních dvou mi vychází
b^2 = c^2

ze třetího
a (b - c) = d (b - c)

odtud

a = d

To už vypadá nadějněji.

2M70 · 26. 11. 2020 21:32

Tak jsem asi trefil i to spektrum:

(a -b)
(b a)

$(a-\lambda )^2+b^{2}=0$
$a^2-2a\lambda +\lambda ^2+b^2=0$
$\lambda ^2 -2a\lambda +a^2 +b^2=0$

$\lambda _{1,2}=\frac{2a\pm \sqrt{4a^2-4a^2-4b^2}}{2a}=a\pm bi$

vanok · 26. 11. 2020 23:02

Ahoj ↑ 2M70:,
Toto https://www.math.tamu.edu/~dallen/m640_ … apter6.pdf Si mozes precitat.

V predoslom prispevku mas maly preklep. ( skontroluj posledny riadok).

MichalAld · 26. 11. 2020 23:27

To je přece nějaký trik, že pomocí dvou takto vhodně zvolených matic lze "emulovat" komplexní čísla.

2M70 · 27. 11. 2020 12:39

↑ vanok:

Předpokládám, že jsem se sekl v tomhle:

$\lambda _{1,2}=\frac{2a\pm \sqrt{4a^2-4a^2-4b^2}}{2a}=a\pm bi$

má být $\lambda _{1,2}=\frac{2a\pm \sqrt{4a^2-4a^2-4b^2}}{2}=a\pm bi$

vanok · 27. 11. 2020 15:57

↑ 2M70:,
Ano. no ked je clovek unaveny moze sa stat.

2M70 · 27. 11. 2020 16:04

↑ vanok:

Zajímavý textík! Vidím, že jsem "tvůrčím přístupem objevil objevené" :-) Nicméně mám radost, že jsem na to s malou nápovědou přišel :-)

Ta 2a ve jmenovateli vznikla tak, že jsem si neuvděomil, že to není obecný vzorec pro kvadratickou rovnici, ale už konkrétní příklad.

Matematické Fórum

#1 26. 11. 2020 18:59

Normání matice a její spektrum

#2 26. 11. 2020 20:43

Re: Normání matice a její spektrum

#3 26. 11. 2020 20:46

Re: Normání matice a její spektrum

#4 26. 11. 2020 21:11

Re: Normání matice a její spektrum

#5 26. 11. 2020 21:32

Re: Normání matice a její spektrum

#6 26. 11. 2020 23:02

Re: Normání matice a její spektrum

#7 26. 11. 2020 23:27

Re: Normání matice a její spektrum

#8 27. 11. 2020 12:39

Re: Normání matice a její spektrum

#9 27. 11. 2020 15:57

Re: Normání matice a její spektrum

#10 27. 11. 2020 16:04

Re: Normání matice a její spektrum

Zápatí