Matematické Fórum

↑ hluboka600:

Ahoj, rekl bych, ze je-li [mathjax]\boldsymbol{\psi}(t)=[\psi_1(t),\psi_2(t)],\ t\in[0,1][/mathjax] parametrizace krivky, po ktere se pohybuje hmotny bod,
potom je okamzita rychlost rovna delce tecneho vektoru, tj [mathjax]v(t)=\sqrt{{\psi'}_1^2(t)+{\psi'}_2^2(t)} [/mathjax]
a urazena draha v case [mathjax]t[/mathjax] se spocte jako [mathjax]s(t)=\int_0^t v(x)\,\mathrm{d}x= \int_0^t\sqrt{{\psi'}_1^2(x)+{\psi'}_2^2(x)}\,\mathrm{d}x[/mathjax].

↑ laszky:Takže délka křivky je vlastně dráha. Dráhu zde nebudu počítat jako plochu pod křivkou, ale jako délku trajektorie. Myslím si to správně?

hluboka600 napsal(a):

To, co mě zaráží, je fakt, že dráha je integrál okamžité rychlosti, plocha, tak proč by to měla být prostá délka křivky.

Nedávno tu někdo řešil to samé.

Si představ ten úplně jednoduchý integrál,

[mathjax]L = \int_{x_1}^{x_2} dx[/mathjax]

Výsledek není nic jiného, než délka úsečky na ose x, mezi x1 a x2. Stejně tak je to plocha pod přímkou ve výšce 1.


U křivkového integrálu je to stejné ... je to prostě plocha pod rovinu z=1, stejně jako to je číselně délka té čáry, podél které se integruje.

Na rychlost můžeme koukat jako na funkci, kterou integrujeme, ale stejně tak na ní můžeme koukat jako na "nevhodně zvolenou" parametrizaci té křivky. Z pohledu matematiky není t žádný fyzikální čas, je to prostě parametr jako každý jiný. Když bychom použili jako parametr l (tedy aktuální délku té křivky, čili dráhu), bude integrál mnohem jednodušší ... bude to integrál "z jedničky". Takže to co musíme integrovat je vlastně jen substituce, abychom se zbavili té "nevhodné parametrizace".