Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 28. 11. 2020 15:26
limita funkce
Zdravím, řeším limitu
[mathjax]\lim_{x\to0+}(arcsinx)^{tgx}[/mathjax]
Dostal jsem se sem
[mathjax]\lim_{x\to0+}(arcsinx)^{tgx}=\lim_{x\to0+}(e^{tgx*ln(arcsinx)})=e^{\lim_{x\to0+}tgx*ln(arcsinx)}[/mathjax]
[mathjax]\lim_{x\to0+}tgx*ln(arcsinx)=\lim_{x\to0+}sinx*ln(arcsinx)\frac{1}{cosx}[/mathjax]
a netuším, jak si poradit s touto částí: [mathjax]\lim_{x\to0+}sinx*ln(arcsinx)[/mathjax]
Bylo mi řečeno, že je to podobné tomuhle [mathjax]\lim_{x\to0+}x lnx[/mathjax] , což mi moc nepomohlo
(bez lhospitalova pravidla)
Díky za pomoc
Offline
- (téma jako vyřešené označil(a) thorne)
#4 28. 11. 2020 16:30 — Editoval surovec (28. 11. 2020 16:36) Příspěvek uživatele surovec byl skryt uživatelem surovec. Důvod: Blbost...
#5 28. 11. 2020 16:57 — Editoval krakonoš (28. 11. 2020 21:49)
Re: limita funkce
Já bych to vyšetřila nejprve na pravém okolí nuly, po zlogaritmování se dostaneme na limitu zprava (sin x)* ln (arcsinx)=(( sinx)/x)*(x/arcsinx)* (arcsin x)* ln(arcsin x), což je limita typu y*ln(y), kde y jde k nule zprava, což je nula, na pravém okolí nuly to tedy bude e^0=1, pro levé okolí se bude muset využít lichosti funkcí arcsin a sin, nelze logaritmovat záporný arcsin,pak to vyjádřit s pomocí limity zprava.Pro výpočet limity yln(y) kde y jde zprava k nule použijeme, že z= 1/y jde do plus nekonečna, což dá limitu -ln(z)/z, následně použijeme větu o sevřené limitě 0<(2ln sqrt z)/z<2/sqrt z
Aspoň se mi , takto jeví.
tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.
Offline
#6 28. 11. 2020 19:00
Re: limita funkce
↑ krakonoš:
Limitu zleva nemusíš, v zadání bylo jen [mathjax]0^+[/mathjax]. Problém je ale v té limitě [mathjax]x\cdot \ln x[/mathjax], její výsledek se totiž určuje l'Hospitalovým pravidlem, a to není povoleno...
Offline
#7 28. 11. 2020 19:41
- david_svec
- Příspěvky: 435
- Pozice: student
- Reputace: 13
Re: limita funkce
Položme [mathjax]x = \mathrm{e}^{-t}[/mathjax], když [mathjax]x \to 0^{+}[/mathjax], tak [mathjax]t \to \infty [/mathjax].
Takže [mathjax]L = \lim_{x\to0^{+}}x\cdot ln(x)=\lim_{t\to\infty }-t\cdot \mathrm{e}^{-t}=-\lim_{t\to\infty }\frac{t}{\mathrm{e}^{t}}[/mathjax].
Platí: [mathjax]\mathrm{e}^{t}=\sum_{k=0}^{\infty }\frac{t^{k}}{k!}\ge \frac{t^{2}}{2}[/mathjax] (přičítají se do nekonečna samé kladné hodnoty)
Máme tedy: [mathjax]\mathrm{e}^{t}\ge \frac{t^{2}}{2}[/mathjax], nerovnici převrátíme [mathjax]\frac{1}{\mathrm{e}^{t}}\le \frac{2}{t^2}[/mathjax], vynásobíme [mathjax]t[/mathjax](t je kladné, takže nerovnítko se nezmění), [mathjax]\frac{t}{\mathrm{e}^{t}}\le \frac{2}{t}[/mathjax], z čehož [mathjax]\lim_{t\to\infty }\frac{t}{\mathrm{e}^{t}}\le \lim_{t\to\infty }\frac{2}{t}=0[/mathjax]. Zároveň víme, že [mathjax]\frac{t}{\mathrm{e}^{t}}[/mathjax] nikdy nebude záporné.
[mathjax]L=-\lim_{t\to\infty }\frac{t}{\mathrm{e}^{t}}=0[/mathjax]
Offline