Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Vysoká škola: úvod do studia
- » Dělitelnost čísel pomoci indukci a kongruenci
#1 29. 11. 2020 20:26
- Tmitheadway
- Zelenáč
- Příspěvky: 16
- Reputace: 0
Dělitelnost čísel pomoci indukci a kongruenci
Dobrý den. Prosím o pomoc! Potřebuji spočítat tenhle příklad
Dokažte,že číslo zapsané jako 3^n stejných cifer je dělitelné číslem 3^n pro každé n z N. Využila jsem vzorec pro součet konečné geometrické řády a indukci
[mathjax]A = 10^{3^{n}}*a + 10^{3^{n-1}}*a + .... +a.
[/mathjax]
Podle vzorce o součtu konečné geometrické řady:
[mathjax]x^{3}-1 = (x-1)*(x^2+x+1)
[/mathjax]
[mathjax]10\equiv 1 (mod 3)
[/mathjax]
[mathjax]10^{3^{n}}-1=(10^{3^{n-1}}-1)*(10^{2*3^{n-1}}+10^{3^{n-1}}+1)
[/mathjax]
Nevím, jak mám postupovat dál
Zda musím využit kongruenci pro nalezení dělitelností 3^n?
Předem děkuji
Offline
#2 29. 11. 2020 22:28 — Editoval laszky (29. 11. 2020 22:29)
Re: Dělitelnost čísel pomoci indukci a kongruenci
↑ Tmitheadway:
Ahoj, zkus vyuzit, ze
[mathjax]s_n = \frac{a}{9}\left(10^{3^n}-1\right) = \frac{a}{9}\left(10^{3^{n-1}}-1\right)\cdot\left(10^{2\cdot3^{n-1}}+10^{3^{n-1}}+1\right) = s_{n-1}\cdot\left(10^{2\cdot3^{n-1}}+10^{3^{n-1}}+1\right)[/mathjax]
Offline
#3 30. 11. 2020 19:59 — Editoval Tmitheadway (30. 11. 2020 19:59)
- Tmitheadway
- Zelenáč
- Příspěvky: 16
- Reputace: 0
Re: Dělitelnost čísel pomoci indukci a kongruenci
↑ laszky:
zda muzu napsat
Podle male fermatove vety
Nechť p je prvočíslo a nechť [mathjax]a\in \mathbb{N}, a \perp p[/mathjax]. Potom plati [mathjax]a^{p-1}\equiv 1 mod p[/mathjax]
[mathjax](10^{2*3^{n-1}}+ 10^{3^{n-1}}+1) \equiv 1+1+1 (mod 3)[/mathjax] Odtud plyne
[mathjax]3/(10^{2*3^{n-1}}+ 10^{3^{n-1}}+1)
[/mathjax]
Offline
#4 30. 11. 2020 20:05
Re: Dělitelnost čísel pomoci indukci a kongruenci
↑ Tmitheadway:
Anebo proste staci rict, ze ciferny soucet cisla [mathjax]\left(10^{2\cdot3^{n-1}}+10^{3^{n-1}}+1\right)[/mathjax] je evidentne 3 ;-)
Offline
#5 30. 11. 2020 20:58
- Tmitheadway
- Zelenáč
- Příspěvky: 16
- Reputace: 0
Re: Dělitelnost čísel pomoci indukci a kongruenci
↑ laszky:
dekuji
Offline
#6 30. 11. 2020 21:04
Re: Dělitelnost čísel pomoci indukci a kongruenci
Servus ↑ laszky:,
Ta posledna finta sa da pouzit uz v#1.
Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT
Offline
Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Vysoká škola: úvod do studia
- » Dělitelnost čísel pomoci indukci a kongruenci