Matematické Fórum

2M70 · 02. 12. 2020 23:18

Už si nevím rady s tímto křivkoým integrálem 2.druhu:

$\int_{C}^{}(exp(x).sin(y)-my)dx+(exp(x).cos(y)-m)dy$

přes půlkružnici

$x^{2}+y^{2}=ax, tj.(x-\frac{a}{2})^{2}+y^{2}=\frac{a^{2}}{4}$

Od bodu $(a,0)$ do bodu $(0,0)$ .

Nápověda: Doplňte C do vhodné uzavřené křivky.

Můj pokus o postup:

$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=exp(x)cos(y)-[exp(x)cos(y)-m]=m$

Doplnění na uzavřenou křivku - vezmu i dolní půlkružnici, zintegruji přes celou kružnici a vezmu z integrálu jednu polovinu:

Parametrizace:
$x=R.cos(\varphi )+\frac{a}{2}$
$y=R.sin(\varphi )$
$J=R$

$0<\varphi <2\pi$
$0<R<\frac{a}{2}$

Integrál by tedy měl být

$\frac{1}{2}\int_{\varphi =0}^{2\pi }\int_{R=0}^{\frac{a}{2}}m\cdot R\cdot dRd\varphi = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi }m\cdot [\frac{R^{2}}{2}]^{\frac{a^{2}}{2}}_{0}d\varphi = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi }m\cdot [\frac{R^{2}}{2}]^{\frac{a^{2}}{2}}_{0}d\varphi =\frac{1}{2}m\int_{0}^{2\pi }\frac{a^{2}}{8}d\varphi =m\pi \frac{a^{2}}{8}$

Integrál mi tedy vyšel
$I=m\pi \frac{a^{2}}{8}$

ale pochybuji, že je to dobře.

Taky si nejsem jistý, jestli se ta půlkružnice neměla uzavřít úsečkou [0,0], [a,0] a počítat integrál i přes tu úsečku.

Budu vděčný za jakoukoli radu, pomoc, nápovědu!

laszky · 03. 12. 2020 01:48

↑ 2M70:

Ahoj. Ano, dopln to na pulkruznici, a pak odecti integral pres lehce parametrizovatelnou usecku.

2M70 · 03. 12. 2020 06:44

↑ laszky:

Má to jeden háček: našel jsem řešení příkladu a je tam stejný výsledek, jako ten můj spočítaný, přes "půlku kružnice", tedy $I=m\pi \frac{a^{2}}{8}$ . Což se obávám, že když místo "druhé půlky kružnice", uzavřu úsečkou, tak tenhle výsledek nedostanu.

Jinak z bodů (0,0) a (a,0) usuzuji parametrizaci úsečky x = 0 + at, y = 0 + 0t, tedy x = at, y = 0, t náležející [0,1].

laszky · 03. 12. 2020 13:15

↑ 2M70:

Ledaze by ten integral pres tu usecku byl nulovy :-)

2M70 · 03. 12. 2020 14:57

↑ laszky:

Trochu jsem počítal a bohužel jsem se nedostal k nulovému výsledku:

0 < x < a
0 < y < 0

Nejjednodušěí - parametrizovat
x = at, dx = a dt
y = 0 dy = 0 dt

0 < t < 1

$\int_{0}^{1}at\cdot adt=a^{2}\int_{0}^{1}tdt=a^{2}[\frac{t^{2}}{2}]^{1}_{0}=\frac{a^{2}}{2}$

Tedy výsledek nevyšel nula.

Poté jsem zkusil na to aplikovat jiný příklad:
-1 < x < 1
0 < y < 0

směrový vektor = (-2, 0)
x = 1-2t, dx = - 2 dt
y = 0 dy = 0 dt

0 < t < 1

$\int_{0}^{1}(1-2t+0)\cdot 2dt=2\cdot [t-t^{2}]^{1}_{0}=2\cdot [1-1] = 0$

A nasadil na můj případ:

x = a - at, dx = - a dt
y = 0, dy = 0

0 < t < 1

$\int_{0}^{1}(a-at+0)\cdot adt=\int_{0}^{1}(a^{2}-a^{2}t)dt=a^{2}\int_{0}^{1}(1-t)dt=a^{2}\cdot [t-\frac{t^{2}}{2}]^{1}_{0}=\frac{a^{2}}{2}$

Tedy stejný výsledek jako po předchozí parametrizaci a opět nenulový :-(

Tak nevím, kde dělám chybu.

laszky · 03. 12. 2020 15:09

↑ 2M70:

A kam se ti podela ta funkce, kterou mas integrovat? ...exp, sin, cos

2M70 · 03. 12. 2020 15:24

Zkusím takto (pravděpodobně blbě):

x = at, dx = a dt
y = 0, dy = 0 dt

$\int_{C}^{}(exp(x).sin(y)-my)dx+(exp(x).cos(y)-m)dy$

$\int_{C}^{}(exp(at).sin(0)-m.0).a.dt + (exp(at).cos(0)-m) 0 dt = 0 + 0 = 0$

laszky · 03. 12. 2020 15:32

↑ 2M70:

Skoro dobre, akorat ten druhej integral neni pres C, ale od 0 do 1 ;-)

2M70 · 03. 12. 2020 15:37

↑ laszky:

Jasně, to jsem se spletl. Díky za upozornění. Ještě se pokusím zobecnit - když počítám křivkový integrál 2.druhu, mám integrační cestu uzavřenou, tvořenou půlkružnicí, a úsečkou na ose x, je integrál přes tuto úsečku vždy nulový?

laszky · 03. 12. 2020 15:40

↑ 2M70:

Neni. Tady to prece vyslo 0 diky sin(0) a m.0 ;-) Kdyby tam byla jina funkce, tak to nula vyjit nemusi.

2M70 · 03. 12. 2020 15:48

↑ laszky:

V každém případě díky moc za pomoc! :-)

Matematické Fórum

#1 02. 12. 2020 23:18

Křivkový integrál 2.druhu po uzavřené křivce

#2 03. 12. 2020 01:48

Re: Křivkový integrál 2.druhu po uzavřené křivce

#3 03. 12. 2020 06:44

Re: Křivkový integrál 2.druhu po uzavřené křivce

#4 03. 12. 2020 13:15

Re: Křivkový integrál 2.druhu po uzavřené křivce

#5 03. 12. 2020 14:57

Re: Křivkový integrál 2.druhu po uzavřené křivce

#6 03. 12. 2020 15:09

Re: Křivkový integrál 2.druhu po uzavřené křivce

#7 03. 12. 2020 15:24

Re: Křivkový integrál 2.druhu po uzavřené křivce

#8 03. 12. 2020 15:32

Re: Křivkový integrál 2.druhu po uzavřené křivce

#9 03. 12. 2020 15:37

Re: Křivkový integrál 2.druhu po uzavřené křivce

#10 03. 12. 2020 15:40

Re: Křivkový integrál 2.druhu po uzavřené křivce

#11 03. 12. 2020 15:48

Re: Křivkový integrál 2.druhu po uzavřené křivce

Zápatí