Matematické Fórum

2M70 · 03. 12. 2020 17:55

Mám určit polohu těžiště homogenní řetězovky

$y=a\cdot cosh\frac{x}{a}$

od x = 0 do x = b

Parametrizuji:

x = t, dx = 1
y = a . cosh (t/a), dy = sinh (t/a)

Výpočet elementu ds:
$ds=\sqrt{1^2+sinh^{2}\frac{t}{a}}= cosh\frac{t}{a}dt$

Hmotnost křivky, hustota je konstantní

$M= \sigma \cdot \int_{0}^{b}cosh\frac{t}{a}dt=\sigma \cdot [a.sinh \frac{t}{a}]^{b}_{0}=\sigma \cdot [a.sinh \frac{b}{a}]$

Souřadnice těžiště:

$x_{T}=\frac{S_{X}}{M}=\frac{\int_{0}^{b}y\cdot \sigma \cdot ds}{\int_{0}^{b}\sigma \cdot ds}=\frac{\sigma \int_{0}^{b}y\cdot ds}{\sigma \int_{0}^{b} \cdot ds}=\frac{ \int_{0}^{b}y\cdot ds}{ \int_{0}^{b} \cdot ds}$

Sx ... statický moment k ose x
M...hmotnost křivky
hustota je konstantní, lze tedy přesunout před integrál a pokrátit

analogicky y-ová souřadnice těžiště

$y_{T}=\frac{S_{Y}}{M}=\frac{\int_{0}^{b}x\cdot \sigma \cdot ds}{\int_{0}^{b}\sigma \cdot ds}=\frac{\sigma \int_{0}^{b}x\cdot ds}{\sigma \int_{0}^{b} ds}=\frac{ \int_{0}^{b}x\cdot ds}{ \int_{0}^{b} ds}$

Statický moment k ose x (hustota již není ve vzorci uvedena)

$S_{X}=\int_{0}^{b}a.cosh\frac{t}{a}cosh\frac{t}{a}dt=\int_{0}^{b}a.cosh^{2}\frac{t}{a}dt$

Výpočet primitivní funkce:

$\int_{}^{}a.cosh^{2}\frac{t}{a}dt=|u=\frac{t}{a}, du=\frac{dt}{a},dt=a.du|=\int_{}^{}a^{2}cosh^{2}u.du$

Vzorec pro hyperbolickou funkci:

$cosh^{2}u=\frac{1}{2}[cosh(2u)+1]=\frac{1}{2}cosh(2u)+\frac{1}{2}$

Zintegruji:

$a^{2}\int_{}^{}cosh^{2}u.du=a^{2}[\frac{1}{4}sinh(2u)+\frac{1}{2}u]$

Dosadím zpět:

$a^{2}\int_{}^{}cosh^{2}\frac{t}{a}dt=a^{2}[\frac{1}{4}sinh(2\frac{t}{a})+\frac{1}{2}\frac{t}{a}]$

Dosadím meze:

$a^{2}\int_{0}^{b}cosh^{2}\frac{t}{a}dt=a^{2}[\frac{1}{4}sinh(2\frac{b}{a})+\frac{1}{2}\frac{b}{a}]$

a x - ová souřadnice těžiště je

$x_{T}=(a^{2}[\frac{1}{4}sinh(2\frac{b}{a})+\frac{1}{2}\frac{b}{a}]) / a(.sinh\frac{b}{a})$

y-ová souřadnice těžiště:

Statický moment k ose y:

$S_{Y}=\int_{0}^{b}t.cosh\frac{t}{a}dt$

Výpočet primitivní funkce - per partes

$\int_{}^{}t.cosh\frac{t}{a}dt=|v=\frac{t}{a},dv=\frac{1}{a}dt,dt=a.dv, t=a.v| =a^{2}\int_{}^{}v.cosh(v)dv = |f=cosh(v), F = sinh(v), G=v, g=1|=$

$=a^{2}\{[v.sinh(v)]-\int_{}^{}sinh(v)dv\}=a^{2}\{[v.sinh(v)]-cosh(v)\}$

dosadím zpět v = t / a a přejdu k výpočtu integrálu:

$a^{2}\{[\frac{t}{a}.sinh(\frac{t}{a})]^{b}_{0}-[cosh(\frac{t}{a})]^{b}_{0}\}$

Po dosazení:

$a^{2}\{[\frac{b}{a}.sinh(\frac{b}{a})]-[cosh(\frac{b}{a})-1]\}$

y-ová souřadnice těžiště by tedy měla být

$y_{T}=a^{2}\{\frac{b}{a}.sinh(\frac{b}{a})-cosh(\frac{b}{a})+1\}/\{a.sinh(\frac{b}{a})\}$

Ale určitě je v tom plno chyb, když vyšly takové hnusy. Budu vděčný za každý námět na zlepšení!